Sr Examen
Gráfico de la función y = 10*(1-exp(1/x))/(1+exp(1/x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 1\
| -|
| x|
10*\1 - e /
f(x) = -----------
1
-
x
1 + e
$$f{\left(x \right)} = \frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1}$$
f = (10*(1 - exp(1/x)))/(exp(1/x) + 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)^{2}} + \frac{10 e^{\frac{1}{x}}}{x^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)^{2}} + \frac{10 e^{\frac{1}{x}}}{x^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{10 \left(\frac{\left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right) \left(2 + \frac{1}{x} - \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} - 2 - \frac{1}{x} + \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{3} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -28754.1764952677$$
$$x_{2} = 24647.5965197498$$
$$x_{3} = 22104.9514602947$$
$$x_{4} = 38208.7470666589$$
$$x_{5} = -25363.926524773$$
$$x_{6} = -21973.7280898444$$
$$x_{7} = 39056.330903285$$
$$x_{8} = -33839.6141913396$$
$$x_{9} = -27906.610198567$$
$$x_{10} = -38077.5172450096$$
$$x_{11} = 36513.5822348587$$
$$x_{12} = 28885.4038868837$$
$$x_{13} = -35534.7720313805$$
$$x_{14} = 31428.1159892851$$
$$x_{15} = -41467.8570734037$$
$$x_{16} = 25495.1523055951$$
$$x_{17} = 34818.4216528477$$
$$x_{18} = 21257.4120220543$$
$$x_{19} = 28037.8372417802$$
$$x_{20} = -29601.7449648875$$
$$x_{21} = 39903.9156065809$$
$$x_{22} = 30580.5434292776$$
$$x_{23} = -20278.656278094$$
$$x_{24} = -23668.8194809242$$
$$x_{25} = 23800.0441854883$$
$$x_{26} = -22821.2716107298$$
$$x_{27} = -24516.3712492294$$
$$x_{28} = -30449.315425943$$
$$x_{29} = -34687.1924926987$$
$$x_{30} = -40620.2709093842$$
$$x_{31} = 41599.0874012596$$
$$x_{32} = -26211.4849672525$$
$$x_{33} = -42315.4439614472$$
$$x_{34} = 33970.8431543521$$
$$x_{35} = 40751.5011224639$$
$$x_{36} = -32992.0372226781$$
$$x_{37} = 20409.8779671042$$
$$x_{38} = -39772.6855156816$$
$$x_{39} = -27059.0462790124$$
$$x_{40} = -37229.9344826451$$
$$x_{41} = 35666.0013747521$$
$$x_{42} = -36382.3527208991$$
$$x_{43} = 37361.1641556937$$
$$x_{44} = 26342.7112097868$$
$$x_{45} = 32275.6902131736$$
$$x_{46} = 33123.2659731949$$
$$x_{47} = -38925.1009426212$$
$$x_{48} = 42446.6743972614$$
$$x_{49} = 29732.9726754688$$
$$x_{50} = 27190.2729406483$$
$$x_{51} = -32144.4616921497$$
$$x_{52} = 22952.4956852851$$
$$x_{53} = -31296.8877166137$$
$$x_{54} = -21126.1894418977$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{10 \left(\frac{\left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right) \left(2 + \frac{1}{x} - \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} - 2 - \frac{1}{x} + \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{3} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 \left(\frac{\left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right) \left(2 + \frac{1}{x} - \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} - 2 - \frac{1}{x} + \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{3} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{10 \left(\frac{\left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right) \left(2 + \frac{1}{x} - \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} - 2 - \frac{1}{x} + \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{3} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -28754.1764952677$$
$$x_{2} = 24647.5965197498$$
$$x_{3} = 22104.9514602947$$
$$x_{4} = 38208.7470666589$$
$$x_{5} = -25363.926524773$$
$$x_{6} = -21973.7280898444$$
$$x_{7} = 39056.330903285$$
$$x_{8} = -33839.6141913396$$
$$x_{9} = -27906.610198567$$
$$x_{10} = -38077.5172450096$$
$$x_{11} = 36513.5822348587$$
$$x_{12} = 28885.4038868837$$
$$x_{13} = -35534.7720313805$$
$$x_{14} = 31428.1159892851$$
$$x_{15} = -41467.8570734037$$
$$x_{16} = 25495.1523055951$$
$$x_{17} = 34818.4216528477$$
$$x_{18} = 21257.4120220543$$
$$x_{19} = 28037.8372417802$$
$$x_{20} = -29601.7449648875$$
$$x_{21} = 39903.9156065809$$
$$x_{22} = 30580.5434292776$$
$$x_{23} = -20278.656278094$$
$$x_{24} = -23668.8194809242$$
$$x_{25} = 23800.0441854883$$
$$x_{26} = -22821.2716107298$$
$$x_{27} = -24516.3712492294$$
$$x_{28} = -30449.315425943$$
$$x_{29} = -34687.1924926987$$
$$x_{30} = -40620.2709093842$$
$$x_{31} = 41599.0874012596$$
$$x_{32} = -26211.4849672525$$
$$x_{33} = -42315.4439614472$$
$$x_{34} = 33970.8431543521$$
$$x_{35} = 40751.5011224639$$
$$x_{36} = -32992.0372226781$$
$$x_{37} = 20409.8779671042$$
$$x_{38} = -39772.6855156816$$
$$x_{39} = -27059.0462790124$$
$$x_{40} = -37229.9344826451$$
$$x_{41} = 35666.0013747521$$
$$x_{42} = -36382.3527208991$$
$$x_{43} = 37361.1641556937$$
$$x_{44} = 26342.7112097868$$
$$x_{45} = 32275.6902131736$$
$$x_{46} = 33123.2659731949$$
$$x_{47} = -38925.1009426212$$
$$x_{48} = 42446.6743972614$$
$$x_{49} = 29732.9726754688$$
$$x_{50} = 27190.2729406483$$
$$x_{51} = -32144.4616921497$$
$$x_{52} = 22952.4956852851$$
$$x_{53} = -31296.8877166137$$
$$x_{54} = -21126.1894418977$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{10 \left(\frac{\left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right) \left(2 + \frac{1}{x} - \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} - 2 - \frac{1}{x} + \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{3} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 \left(\frac{\left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right) \left(2 + \frac{1}{x} - \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} - 2 - \frac{1}{x} + \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{3} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (10*(1 - exp(1/x)))/(1 + exp(1/x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} = \frac{10 - 10 e^{- \frac{1}{x}}}{1 + e^{- \frac{1}{x}}}$$
- No
$$\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} = - \frac{10 - 10 e^{- \frac{1}{x}}}{1 + e^{- \frac{1}{x}}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} = \frac{10 - 10 e^{- \frac{1}{x}}}{1 + e^{- \frac{1}{x}}}$$
- No
$$\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} = - \frac{10 - 10 e^{- \frac{1}{x}}}{1 + e^{- \frac{1}{x}}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar