Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 10*(1-exp(1/x))/(1+exp(1/x))

Gráfico de la función y = 10*(1-exp(1/x))/(1+exp(1/x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /     1\
          |     -|
          |     x|
       10*\1 - e /
f(x) = -----------
               1  
               -  
               x  
          1 + e
f(x)=10(1−e1x)e1x+1f{\left(x \right)} = \frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} 
f = (10*(1 - exp(1/x)))/(exp(1/x) + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
10(1−e1x)e1x+1=0\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (10*(1 - exp(1/x)))/(1 + exp(1/x)).
10(1−e10)1+e10\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{0}}\right)}{1 + e^{\frac{1}{0}}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
10(1−e1x)e1xx2(e1x+1)2+10e1xx2(e1x+1)=0\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)^{2}} + \frac{10 e^{\frac{1}{x}}}{x^{2} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
10((e1x−1)(2+1x−2e1xx(e1x+1))e1x+1−2−1x+2e1xx(e1x+1))e1xx3(e1x+1)=0\frac{10 \left(\frac{\left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right) \left(2 + \frac{1}{x} - \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} - 2 - \frac{1}{x} + \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{3} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−28754.1764952677x_{1} = -28754.1764952677
x2=24647.5965197498x_{2} = 24647.5965197498
x3=22104.9514602947x_{3} = 22104.9514602947
x4=38208.7470666589x_{4} = 38208.7470666589
x5=−25363.926524773x_{5} = -25363.926524773
x6=−21973.7280898444x_{6} = -21973.7280898444
x7=39056.330903285x_{7} = 39056.330903285
x8=−33839.6141913396x_{8} = -33839.6141913396
x9=−27906.610198567x_{9} = -27906.610198567
x10=−38077.5172450096x_{10} = -38077.5172450096
x11=36513.5822348587x_{11} = 36513.5822348587
x12=28885.4038868837x_{12} = 28885.4038868837
x13=−35534.7720313805x_{13} = -35534.7720313805
x14=31428.1159892851x_{14} = 31428.1159892851
x15=−41467.8570734037x_{15} = -41467.8570734037
x16=25495.1523055951x_{16} = 25495.1523055951
x17=34818.4216528477x_{17} = 34818.4216528477
x18=21257.4120220543x_{18} = 21257.4120220543
x19=28037.8372417802x_{19} = 28037.8372417802
x20=−29601.7449648875x_{20} = -29601.7449648875
x21=39903.9156065809x_{21} = 39903.9156065809
x22=30580.5434292776x_{22} = 30580.5434292776
x23=−20278.656278094x_{23} = -20278.656278094
x24=−23668.8194809242x_{24} = -23668.8194809242
x25=23800.0441854883x_{25} = 23800.0441854883
x26=−22821.2716107298x_{26} = -22821.2716107298
x27=−24516.3712492294x_{27} = -24516.3712492294
x28=−30449.315425943x_{28} = -30449.315425943
x29=−34687.1924926987x_{29} = -34687.1924926987
x30=−40620.2709093842x_{30} = -40620.2709093842
x31=41599.0874012596x_{31} = 41599.0874012596
x32=−26211.4849672525x_{32} = -26211.4849672525
x33=−42315.4439614472x_{33} = -42315.4439614472
x34=33970.8431543521x_{34} = 33970.8431543521
x35=40751.5011224639x_{35} = 40751.5011224639
x36=−32992.0372226781x_{36} = -32992.0372226781
x37=20409.8779671042x_{37} = 20409.8779671042
x38=−39772.6855156816x_{38} = -39772.6855156816
x39=−27059.0462790124x_{39} = -27059.0462790124
x40=−37229.9344826451x_{40} = -37229.9344826451
x41=35666.0013747521x_{41} = 35666.0013747521
x42=−36382.3527208991x_{42} = -36382.3527208991
x43=37361.1641556937x_{43} = 37361.1641556937
x44=26342.7112097868x_{44} = 26342.7112097868
x45=32275.6902131736x_{45} = 32275.6902131736
x46=33123.2659731949x_{46} = 33123.2659731949
x47=−38925.1009426212x_{47} = -38925.1009426212
x48=42446.6743972614x_{48} = 42446.6743972614
x49=29732.9726754688x_{49} = 29732.9726754688
x50=27190.2729406483x_{50} = 27190.2729406483
x51=−32144.4616921497x_{51} = -32144.4616921497
x52=22952.4956852851x_{52} = 22952.4956852851
x53=−31296.8877166137x_{53} = -31296.8877166137
x54=−21126.1894418977x_{54} = -21126.1894418977
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(10((e1x−1)(2+1x−2e1xx(e1x+1))e1x+1−2−1x+2e1xx(e1x+1))e1xx3(e1x+1))=0\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{10 \left(\frac{\left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right) \left(2 + \frac{1}{x} - \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} - 2 - \frac{1}{x} + \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{3} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) = 0
lim⁡x→0+(10((e1x−1)(2+1x−2e1xx(e1x+1))e1x+1−2−1x+2e1xx(e1x+1))e1xx3(e1x+1))=0\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 \left(\frac{\left(e^{\frac{1}{x}} - 1\right) \left(2 + \frac{1}{x} - \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} - 2 - \frac{1}{x} + \frac{2 e^{\frac{1}{x}}}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{3} \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) = 0
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(10(1−e1x)e1x+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(10(1−e1x)e1x+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (10*(1 - exp(1/x)))/(1 + exp(1/x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(10(1−e1x)x(e1x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(10(1−e1x)x(e1x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{x \left(e^{\frac{1}{x}} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
10(1−e1x)e1x+1=10−10e−1x1+e−1x\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} = \frac{10 - 10 e^{- \frac{1}{x}}}{1 + e^{- \frac{1}{x}}}
- No
10(1−e1x)e1x+1=−10−10e−1x1+e−1x\frac{10 \left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)}{e^{\frac{1}{x}} + 1} = - \frac{10 - 10 e^{- \frac{1}{x}}}{1 + e^{- \frac{1}{x}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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