Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ y=2cos(3x)-3sin(2x)+6

Gráfico de la función y = y=2cos(3x)-3sin(2x)+6

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*cos(3*x) - 3*sin(2*x) + 6
f(x)=(−3sin⁡(2x)+2cos⁡(3x))+6f{\left(x \right)} = \left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6 
f = -3*sin(2*x) + 2*cos(3*x) + 6
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−3sin⁡(2x)+2cos⁡(3x))+6=0\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*cos(3*x) - 3*sin(2*x) + 6.
(−3sin⁡(0⋅2)+2cos⁡(0⋅3))+6\left(- 3 \sin{\left(0 \cdot 2 \right)} + 2 \cos{\left(0 \cdot 3 \right)}\right) + 6
Resultado:
f(0)=8f{\left(0 \right)} = 8
Punto:
(0, 8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−6sin⁡(3x)−6cos⁡(2x)=0- 6 \sin{\left(3 x \right)} - 6 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=−π10x_{2} = - \frac{\pi}{10}
x3=−ilog⁡(−25+58+105+58+i4+5i4)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}
x4=−ilog⁡(−105+516−105−516−25+516+25−516−5i4+i4)x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} + \frac{i}{4} \right)}
x5=−ilog⁡(−105+516−25+516−25−516+105−516+i4+5i4)x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     
(----, 6)
  2      

                  ___________ 
                 /       ___  
 -pi            /  5   \/ 5   
(----, 6 + 5*  /   - - ----- )
  10         \/    8     8    

       /             ___________                       ___________\           /       /             ___________                       ___________\\        /       /             ___________                       ___________\\ 
       |      ___   /       ___        ___     ____   /       ___ |           |       |      ___   /       ___        ___     ____   /       ___ ||        |       |      ___   /       ___        ___     ____   /       ___ || 
       |I   \/ 2 *\/  5 + \/ 5     I*\/ 5    \/ 10 *\/  5 + \/ 5  |           |       |I   \/ 2 *\/  5 + \/ 5     I*\/ 5    \/ 10 *\/  5 + \/ 5  ||        |       |I   \/ 2 *\/  5 + \/ 5     I*\/ 5    \/ 10 *\/  5 + \/ 5  || 
(-I*log|- - -------------------- + ------- + ---------------------|, 6 + 2*cos|3*I*log|- - -------------------- + ------- + ---------------------|| + 3*sin|2*I*log|- - -------------------- + ------- + ---------------------||)
       \4            8                4                8          /           \       \4            8                4                8          //        \       \4            8                4                8          // 

       /                       ___________             ___________             ___________            ___________\           /       /                       ___________             ___________             ___________            ___________\\        /       /                       ___________             ___________             ___________            ___________\\ 
       |        ___     ___   /       ___      ____   /       ___      ____   /       ___      ___   /       ___ |           |       |        ___     ___   /       ___      ____   /       ___      ____   /       ___      ___   /       ___ ||        |       |        ___     ___   /       ___      ____   /       ___      ____   /       ___      ___   /       ___ || 
       |I   I*\/ 5    \/ 2 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 - \/ 5     \/ 2 *\/  5 - \/ 5  |           |       |I   I*\/ 5    \/ 2 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 - \/ 5     \/ 2 *\/  5 - \/ 5  ||        |       |I   I*\/ 5    \/ 2 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 + \/ 5     \/ 10 *\/  5 - \/ 5     \/ 2 *\/  5 - \/ 5  || 
(-I*log|- - ------- - -------------------- - --------------------- - --------------------- + --------------------|, 6 + 2*cos|3*I*log|- - ------- - -------------------- - --------------------- - --------------------- + --------------------|| + 3*sin|2*I*log|- - ------- - -------------------- - --------------------- - --------------------- + --------------------||)
       \4      4               16                      16                      16                     16         /           \       \4      4               16                      16                      16                     16         //        \       \4      4               16                      16                      16                     16         // 

       /             ___________            ___________             ___________                       ___________\           /       /             ___________            ___________             ___________                       ___________\\        /       /             ___________            ___________             ___________                       ___________\\ 
       |      ___   /       ___      ___   /       ___      ____   /       ___        ___     ____   /       ___ |           |       |      ___   /       ___      ___   /       ___      ____   /       ___        ___     ____   /       ___ ||        |       |      ___   /       ___      ___   /       ___      ____   /       ___        ___     ____   /       ___ || 
       |I   \/ 2 *\/  5 + \/ 5     \/ 2 *\/  5 - \/ 5     \/ 10 *\/  5 + \/ 5     I*\/ 5    \/ 10 *\/  5 - \/ 5  |           |       |I   \/ 2 *\/  5 + \/ 5     \/ 2 *\/  5 - \/ 5     \/ 10 *\/  5 + \/ 5     I*\/ 5    \/ 10 *\/  5 - \/ 5  ||        |       |I   \/ 2 *\/  5 + \/ 5     \/ 2 *\/  5 - \/ 5     \/ 10 *\/  5 + \/ 5     I*\/ 5    \/ 10 *\/  5 - \/ 5  || 
(-I*log|- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ------- + ---------------------|, 6 + 2*cos|3*I*log|- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ------- + ---------------------|| + 3*sin|2*I*log|- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ------- + ---------------------||)
       \4            16                     16                      16               4                16         /           \       \4            16                     16                      16               4                16         //        \       \4            16                     16                      16               4                16         //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=atan⁡(2+25−25+5+105+5)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + 2 \sqrt{5}}{- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}
x2=−π+atan⁡(4−45−105+5−105−5−25+5+25−5)x_{2} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{4 - 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}
Puntos máximos de la función:
x2=−π10x_{2} = - \frac{\pi}{10}
x2=atan⁡(4+45−105+5−25+5−25−5+105−5)+πx_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + \pi
Decrece en los intervalos
[−π+atan⁡(4−45−105+5−105−5−25+5+25−5),−π10]∪[atan⁡(2+25−25+5+105+5),∞)\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{4 - 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}, - \frac{\pi}{10}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{2 + 2 \sqrt{5}}{- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π+atan⁡(4−45−105+5−105−5−25+5+25−5)]\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{4 - 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(2sin⁡(2x)−3cos⁡(3x))=06 \left(2 \sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=i(log⁡(6)−log⁡(−25−210−10i−i))x_{3} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(- \sqrt{25 - 2 \sqrt{10}} - \sqrt{10} i - i \right)}\right)
x4=i(log⁡(6)−log⁡(25−210−10i−i))x_{4} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(\sqrt{25 - 2 \sqrt{10}} - \sqrt{10} i - i \right)}\right)
x5=i(log⁡(6)−log⁡(−210+25−i+10i))x_{5} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(- \sqrt{2 \sqrt{10} + 25} - i + \sqrt{10} i \right)}\right)
x6=i(log⁡(6)−log⁡(210+25−i+10i))x_{6} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(\sqrt{2 \sqrt{10} + 25} - i + \sqrt{10} i \right)}\right)

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π−atan⁡(−1+10210+25),∞)\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{10}}{\sqrt{2 \sqrt{10} + 25}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−3sin⁡(2x)+2cos⁡(3x))+6)=⟨1,11⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6\right) = \left\langle 1, 11\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨1,11⟩y = \left\langle 1, 11\right\rangle
lim⁡x→∞((−3sin⁡(2x)+2cos⁡(3x))+6)=⟨1,11⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6\right) = \left\langle 1, 11\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨1,11⟩y = \left\langle 1, 11\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(3*x) - 3*sin(2*x) + 6, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−3sin⁡(2x)+2cos⁡(3x))+6x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−3sin⁡(2x)+2cos⁡(3x))+6x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−3sin⁡(2x)+2cos⁡(3x))+6=3sin⁡(2x)+2cos⁡(3x)+6\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6 = 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)} + 6
- No
(−3sin⁡(2x)+2cos⁡(3x))+6=−3sin⁡(2x)−2cos⁡(3x)−6\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6 = - 3 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(3 x \right)} - 6
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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