Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-x^3
-
x^4-2x^2
-
1-x^3
-
x^2/(x-3)
-
Expresiones idénticas
- y=2cos(3x)-3sin(2x)+ seis
- y es igual a 2 coseno de (3x) menos 3 seno de (2x) más 6
- y es igual a 2 coseno de (3x) menos 3 seno de (2x) más seis
- y=2cos3x-3sin2x+6
-
Expresiones semejantes
- y=2cos(3x)-3sin(2x)-6
- 2*cos(3*x)-3*sin(2*x)+6
- y=2cos(3x)+3sin(2x)+6
Gráfico de la función y = y=2cos(3x)-3sin(2x)+6
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = 2*cos(3*x) - 3*sin(2*x) + 6
$$f{\left(x \right)} = \left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6$$
f = -3*sin(2*x) + 2*cos(3*x) + 6
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 6 \sin{\left(3 x \right)} - 6 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{10}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + 2 \sqrt{5}}{- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}$$
$$x_{2} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{4 - 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{10}$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{4 - 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}, - \frac{\pi}{10}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{2 + 2 \sqrt{5}}{- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{4 - 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 6 \sin{\left(3 x \right)} - 6 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{10}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
-pi (----, 6) 2
___________
/ ___
-pi / 5 \/ 5
(----, 6 + 5* / - - ----- )
10 \/ 8 8 / ___________ ___________\ / / ___________ ___________\\ / / ___________ ___________\\
| ___ / ___ ___ ____ / ___ | | | ___ / ___ ___ ____ / ___ || | | ___ / ___ ___ ____ / ___ ||
|I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 | | |I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 || | |I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 ||
(-I*log|- - -------------------- + ------- + ---------------------|, 6 + 2*cos|3*I*log|- - -------------------- + ------- + ---------------------|| + 3*sin|2*I*log|- - -------------------- + ------- + ---------------------||)
\4 8 4 8 / \ \4 8 4 8 // \ \4 8 4 8 // / ___________ ___________ ___________ ___________\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\
| ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ / ___ | | | ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ / ___ ||
|I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 | | |I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 || | |I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 ||
(-I*log|- - ------- - -------------------- - --------------------- - --------------------- + --------------------|, 6 + 2*cos|3*I*log|- - ------- - -------------------- - --------------------- - --------------------- + --------------------|| + 3*sin|2*I*log|- - ------- - -------------------- - --------------------- - --------------------- + --------------------||)
\4 4 16 16 16 16 / \ \4 4 16 16 16 16 // \ \4 4 16 16 16 16 // / ___________ ___________ ___________ ___________\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\
| ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ___ ____ / ___ | | | ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ___ ____ / ___ || | | ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ___ ____ / ___ ||
|I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 | | |I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 || | |I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 ||
(-I*log|- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ------- + ---------------------|, 6 + 2*cos|3*I*log|- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ------- + ---------------------|| + 3*sin|2*I*log|- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ------- + ---------------------||)
\4 16 16 16 4 16 / \ \4 16 16 16 4 16 // \ \4 16 16 16 4 16 // Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + 2 \sqrt{5}}{- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}$$
$$x_{2} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{4 - 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{10}$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{4 - 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}, - \frac{\pi}{10}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{2 + 2 \sqrt{5}}{- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{4 - 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(2 \sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(- \sqrt{25 - 2 \sqrt{10}} - \sqrt{10} i - i \right)}\right)$$
$$x_{4} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(\sqrt{25 - 2 \sqrt{10}} - \sqrt{10} i - i \right)}\right)$$
$$x_{5} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(- \sqrt{2 \sqrt{10} + 25} - i + \sqrt{10} i \right)}\right)$$
$$x_{6} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(\sqrt{2 \sqrt{10} + 25} - i + \sqrt{10} i \right)}\right)$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{10}}{\sqrt{2 \sqrt{10} + 25}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(2 \sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(- \sqrt{25 - 2 \sqrt{10}} - \sqrt{10} i - i \right)}\right)$$
$$x_{4} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(\sqrt{25 - 2 \sqrt{10}} - \sqrt{10} i - i \right)}\right)$$
$$x_{5} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(- \sqrt{2 \sqrt{10} + 25} - i + \sqrt{10} i \right)}\right)$$
$$x_{6} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(\sqrt{2 \sqrt{10} + 25} - i + \sqrt{10} i \right)}\right)$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{10}}{\sqrt{2 \sqrt{10} + 25}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6\right) = \left\langle 1, 11\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 1, 11\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6\right) = \left\langle 1, 11\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 1, 11\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6\right) = \left\langle 1, 11\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 1, 11\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6\right) = \left\langle 1, 11\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 1, 11\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(3*x) - 3*sin(2*x) + 6, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6 = 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)} + 6$$
- No
$$\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6 = - 3 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(3 x \right)} - 6$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6 = 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)} + 6$$
- No
$$\left(- 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) + 6 = - 3 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(3 x \right)} - 6$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar