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Trazado el gráfico de la función/ x^3-20x^2+100x+7

Gráfico de la función y = x^3-20x^2+100x+7

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3       2            
f(x) = x  - 20*x  + 100*x + 7
f(x)=(100x+(x3−20x2))+7f{\left(x \right)} = \left(100 x + \left(x^{3} - 20 x^{2}\right)\right) + 7 
f = 100*x + x^3 - 20*x^2 + 7
Gráfico de la función
13.010.010.511.011.512.012.59.50200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(100x+(x3−20x2))+7=0\left(100 x + \left(x^{3} - 20 x^{2}\right)\right) + 7 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3879692+2189233−10033879692+218923+203x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{87969}}{2} + \frac{2189}{2}}}{3} - \frac{100}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{87969}}{2} + \frac{2189}{2}}} + \frac{20}{3}
Solución numérica
x1=−0.0690433129082635x_{1} = -0.0690433129082635
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 20*x^2 + 100*x + 7.
((03−20⋅02)+0⋅100)+7\left(\left(0^{3} - 20 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 100\right) + 7
Resultado:
f(0)=7f{\left(0 \right)} = 7
Punto:
(0, 7)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−40x+100=03 x^{2} - 40 x + 100 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=103x_{1} = \frac{10}{3}
x2=10x_{2} = 10
Signos de extremos en los puntos:
       4189 
(10/3, ----)
        27  

(10, 7)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=10x_{1} = 10
Puntos máximos de la función:
x1=103x_{1} = \frac{10}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,103]∪[10,∞)\left(-\infty, \frac{10}{3}\right] \cup \left[10, \infty\right)
Crece en los intervalos
[103,10]\left[\frac{10}{3}, 10\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x−20)=02 \left(3 x - 20\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=203x_{1} = \frac{20}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[203,∞)\left[\frac{20}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,203]\left(-\infty, \frac{20}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((100x+(x3−20x2))+7)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(100 x + \left(x^{3} - 20 x^{2}\right)\right) + 7\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((100x+(x3−20x2))+7)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(100 x + \left(x^{3} - 20 x^{2}\right)\right) + 7\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 20*x^2 + 100*x + 7, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((100x+(x3−20x2))+7x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(100 x + \left(x^{3} - 20 x^{2}\right)\right) + 7}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((100x+(x3−20x2))+7x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(100 x + \left(x^{3} - 20 x^{2}\right)\right) + 7}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(100x+(x3−20x2))+7=−x3−20x2−100x+7\left(100 x + \left(x^{3} - 20 x^{2}\right)\right) + 7 = - x^{3} - 20 x^{2} - 100 x + 7
- No
(100x+(x3−20x2))+7=x3+20x2+100x−7\left(100 x + \left(x^{3} - 20 x^{2}\right)\right) + 7 = x^{3} + 20 x^{2} + 100 x - 7
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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