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1-x^2+x^3-x^4+x^5
Trazado el gráfico de la función/ 1-x^2+x^3-x^4+x^5

Gráfico de la función y = 1-x^2+x^3-x^4+x^5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            2    3    4    5
f(x) = 1 - x  + x  - x  + x
f(x)=x5+(−x4+(x3+(1−x2)))f{\left(x \right)} = x^{5} + \left(- x^{4} + \left(x^{3} + \left(1 - x^{2}\right)\right)\right) 
f = x^5 - x^4 + x^3 + 1 - x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200000200000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x5+(−x4+(x3+(1−x2)))=0x^{5} + \left(- x^{4} + \left(x^{3} + \left(1 - x^{2}\right)\right)\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=CRootOf⁡(x5−x4+x3−x2+1,0)x_{1} = \operatorname{CRootOf} {\left(x^{5} - x^{4} + x^{3} - x^{2} + 1, 0\right)}
Solución numérica
x1=−0.651823453823442x_{1} = -0.651823453823442
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 - x^2 + x^3 - x^4 + x^5.
05+(−04+(03+(1−02)))0^{5} + \left(- 0^{4} + \left(0^{3} + \left(1 - 0^{2}\right)\right)\right)
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
5x4−4x3+3x2−2x=05 x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−292254693375+10862253+415+4693375+10862253x_{2} = - \frac{29}{225 \sqrt[3]{\frac{469}{3375} + \frac{\sqrt{1086}}{225}}} + \frac{4}{15} + \sqrt[3]{\frac{469}{3375} + \frac{\sqrt{1086}}{225}}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

                                                                                                                         3                                                             5                                                             2                                                             4 
           _________________                                   /          _________________                             \    /          _________________                             \    /          _________________                             \    /          _________________                             \  
          /          ______                                    |         /          ______                              |    |         /          ______                              |    |         /          ______                              |    |         /          ______                              |  
 4       /  469    \/ 1086                 29                  |4       /  469    \/ 1086                 29            |    |4       /  469    \/ 1086                 29            |    |4       /  469    \/ 1086                 29            |    |4       /  469    \/ 1086                 29            |  
(-- + 3 /   ---- + --------  - --------------------------, 1 + |-- + 3 /   ---- + --------  - --------------------------|  + |-- + 3 /   ---- + --------  - --------------------------|  - |-- + 3 /   ---- + --------  - --------------------------|  - |-- + 3 /   ---- + --------  - --------------------------| )
 15   \/    3375     225                _________________      |15   \/    3375     225                _________________|    |15   \/    3375     225                _________________|    |15   \/    3375     225                _________________|    |15   \/    3375     225                _________________|  
                                       /          ______       |                                      /          ______ |    |                                      /          ______ |    |                                      /          ______ |    |                                      /          ______ |  
                                      /  469    \/ 1086        |                                     /  469    \/ 1086  |    |                                     /  469    \/ 1086  |    |                                     /  469    \/ 1086  |    |                                     /  469    \/ 1086  |  
                               225*3 /   ---- + --------       |                              225*3 /   ---- + -------- |    |                              225*3 /   ---- + -------- |    |                              225*3 /   ---- + -------- |    |                              225*3 /   ---- + -------- |  
                                   \/    3375     225          \                                  \/    3375     225    /    \                                  \/    3375     225    /    \                                  \/    3375     225    /    \                                  \/    3375     225    /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−292254693375+10862253+415+4693375+10862253x_{1} = - \frac{29}{225 \sqrt[3]{\frac{469}{3375} + \frac{\sqrt{1086}}{225}}} + \frac{4}{15} + \sqrt[3]{\frac{469}{3375} + \frac{\sqrt{1086}}{225}}
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[−292254693375+10862253+415+4693375+10862253,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[- \frac{29}{225 \sqrt[3]{\frac{469}{3375} + \frac{\sqrt{1086}}{225}}} + \frac{4}{15} + \sqrt[3]{\frac{469}{3375} + \frac{\sqrt{1086}}{225}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,−292254693375+10862253+415+4693375+10862253]\left[0, - \frac{29}{225 \sqrt[3]{\frac{469}{3375} + \frac{\sqrt{1086}}{225}}} + \frac{4}{15} + \sqrt[3]{\frac{469}{3375} + \frac{\sqrt{1086}}{225}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(10x3−6x2+3x−1)=02 \left(10 x^{3} - 6 x^{2} + 3 x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3507250+101003+15+7250+101003x_{1} = - \frac{3}{50 \sqrt[3]{\frac{7}{250} + \frac{\sqrt{10}}{100}}} + \frac{1}{5} + \sqrt[3]{\frac{7}{250} + \frac{\sqrt{10}}{100}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−3507250+101003+15+7250+101003,∞)\left[- \frac{3}{50 \sqrt[3]{\frac{7}{250} + \frac{\sqrt{10}}{100}}} + \frac{1}{5} + \sqrt[3]{\frac{7}{250} + \frac{\sqrt{10}}{100}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−3507250+101003+15+7250+101003]\left(-\infty, - \frac{3}{50 \sqrt[3]{\frac{7}{250} + \frac{\sqrt{10}}{100}}} + \frac{1}{5} + \sqrt[3]{\frac{7}{250} + \frac{\sqrt{10}}{100}}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x5+(−x4+(x3+(1−x2))))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} + \left(- x^{4} + \left(x^{3} + \left(1 - x^{2}\right)\right)\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x5+(−x4+(x3+(1−x2))))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} + \left(- x^{4} + \left(x^{3} + \left(1 - x^{2}\right)\right)\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 - x^2 + x^3 - x^4 + x^5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x5+(−x4+(x3+(1−x2)))x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{5} + \left(- x^{4} + \left(x^{3} + \left(1 - x^{2}\right)\right)\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x5+(−x4+(x3+(1−x2)))x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} + \left(- x^{4} + \left(x^{3} + \left(1 - x^{2}\right)\right)\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x5+(−x4+(x3+(1−x2)))=−x5−x4−x3−x2+1x^{5} + \left(- x^{4} + \left(x^{3} + \left(1 - x^{2}\right)\right)\right) = - x^{5} - x^{4} - x^{3} - x^{2} + 1
- No
x5+(−x4+(x3+(1−x2)))=x5+x4+x3+x2−1x^{5} + \left(- x^{4} + \left(x^{3} + \left(1 - x^{2}\right)\right)\right) = x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 1-x^2+x^3-x^4+x^5
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