Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • y=cosx y=cosx
  • y=3x^2-x^3 y=3x^2-x^3
  • 2*x^3-3*x 2*x^3-3*x
  • 3-x^2 3-x^2

  • Expresiones idénticas

  • (uno / tres)x^ tres +(uno / dos)x^ dos -2x-(uno / tres)
  • (1 dividir por 3)x al cubo más (1 dividir por 2)x al cuadrado menos 2x menos (1 dividir por 3)
  • (uno dividir por tres)x en el grado tres más (uno dividir por dos)x en el grado dos menos 2x menos (uno dividir por tres)
  • (1/3)x3+(1/2)x2-2x-(1/3)
  • 1/3x3+1/2x2-2x-1/3
  • (1/3)x³+(1/2)x²-2x-(1/3)
  • (1/3)x en el grado 3+(1/2)x en el grado 2-2x-(1/3)
  • 1/3x^3+1/2x^2-2x-1/3
  • (1 dividir por 3)x^3+(1 dividir por 2)x^2-2x-(1 dividir por 3)

  • Expresiones semejantes

  • (1/3)x^3-(1/2)x^2-2x-(1/3)
  • (1/3)x^3+(1/2)x^2+2x-(1/3)
  • (1/3)x^3+(1/2)x^2-2x+(1/3)
Trazado el gráfico de la función/ (1/3)x^3+(1/2)x^2-2x-(1/3)

Gráfico de la función y = (1/3)x^3+(1/2)x^2-2x-(1/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3    2          
       x    x          1
f(x) = -- + -- - 2*x - -
       3    2          3
f(x)=(−2x+(x33+x22))−13f{\left(x \right)} = \left(- 2 x + \left(\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}\right)\right) - \frac{1}{3} 
f = -2*x + x^3/3 + x^2/2 - 1/3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−2x+(x33+x22))−13=0\left(- 2 x + \left(\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}\right)\right) - \frac{1}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−12−2438+2432i433−2742438+2432i43x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[3]{\frac{243}{8} + \frac{243 \sqrt{2} i}{4}}}{3} - \frac{27}{4 \sqrt[3]{\frac{243}{8} + \frac{243 \sqrt{2} i}{4}}}
Solución numérica
x1=−0.160889429316188x_{1} = -0.160889429316188
x2=−3.25097989505606x_{2} = -3.25097989505606
x3=1.91186932437225x_{3} = 1.91186932437225
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3/3 + x^2/2 - 2*x - 1/3.
−13+((033+022)−0)- \frac{1}{3} + \left(\left(\frac{0^{3}}{3} + \frac{0^{2}}{2}\right) - 0\right)
Resultado:
f(0)=−13f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{3}
Punto:
(0, -1/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x2+x−2=0x^{2} + x - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 3)

(1, -3/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
Decrece en los intervalos
(−∞,−2]∪[1,∞)\left(-\infty, -2\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−2,1]\left[-2, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2x+1=02 x + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−12,∞)\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−2x+(x33+x22))−13)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 2 x + \left(\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}\right)\right) - \frac{1}{3}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−2x+(x33+x22))−13)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 x + \left(\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}\right)\right) - \frac{1}{3}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3/3 + x^2/2 - 2*x - 1/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−2x+(x33+x22))−13x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}\right)\right) - \frac{1}{3}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−2x+(x33+x22))−13x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}\right)\right) - \frac{1}{3}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−2x+(x33+x22))−13=−x33+x22+2x−13\left(- 2 x + \left(\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}\right)\right) - \frac{1}{3} = - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{1}{3}
- No
(−2x+(x33+x22))−13=x33−x22−2x+13\left(- 2 x + \left(\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}\right)\right) - \frac{1}{3} = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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