Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (2sin^(2)x)+2sin(2x)+1

Gráfico de la función y = (2sin^(2)x)+2sin(2x)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            2                    
f(x) = 2*sin (x) + 2*sin(2*x) + 1
f(x)=(2sin⁡2(x)+2sin⁡(2x))+1f{\left(x \right)} = \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + 1 
f = 2*sin(x)^2 + 2*sin(2*x) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2sin⁡2(x)+2sin⁡(2x))+1=0\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=−ilog⁡((−i)52)x_{2} = - i \log{\left(\left(- i\right)^{\frac{5}{2}} \right)}
Solución numérica
x1=58.9048622548086x_{1} = 58.9048622548086
x2=−88.2863448549109x_{2} = -88.2863448549109
x3=−53.7288256654231x_{3} = -53.7288256654231
x4=−47.9092879672443x_{4} = -47.9092879672443
x5=46.3384916404494x_{5} = 46.3384916404494
x6=71.9348804781686x_{6} = 71.9348804781686
x7=90.3207887907066x_{7} = 90.3207887907066
x8=−29.0597320457056x_{8} = -29.0597320457056
x9=100.209214360477x_{9} = 100.209214360477
x10=59.3685098638094x_{10} = 59.3685098638094
x11=−7.06858347057703x_{11} = -7.06858347057703
x12=43.6605465958605x_{12} = 43.6605465958605
x13=−85.6083998103219x_{13} = -85.6083998103219
x14=−638.528706842126x_{14} = -638.528706842126
x15=−51.0508806208341x_{15} = -51.0508806208341
x16=18.0641577581413x_{16} = 18.0641577581413
x17=−91.8915851175014x_{17} = -91.8915851175014
x18=−13.3517687777566x_{18} = -13.3517687777566
x19=−6.60493586157623x_{19} = -6.60493586157623
x20=−3.92699081698724x_{20} = -3.92699081698724
x21=40.0553063332699x_{21} = 40.0553063332699
x22=−25.9181393921158x_{22} = -25.9181393921158
x23=81.359658438938x_{23} = 81.359658438938
x24=−69.4367889333721x_{24} = -69.4367889333721
x25=37.3773612886809x_{25} = 37.3773612886809
x26=2.35619449019234x_{26} = 2.35619449019234
x27=49.9437319030401x_{27} = 49.9437319030401
x28=93.9260290532972x_{28} = 93.9260290532972
x29=80.8960108299372x_{29} = 80.8960108299372
x30=96.6039740978861x_{30} = 96.6039740978861
x31=5.96143475278294x_{31} = 5.96143475278294
x32=14.9225651045515x_{32} = 14.9225651045515
x33=78.2180657853482x_{33} = 78.2180657853482
x34=−16.0297138223456x_{34} = -16.0297138223456
x35=84.037603483527x_{35} = 84.037603483527
x36=−44.3040477046537x_{36} = -44.3040477046537
x37=−1608.81718919237x_{37} = -1608.81718919237
x38=24.3473430653209x_{38} = 24.3473430653209
x39=27.9525833279115x_{39} = 27.9525833279115
x40=−85.1447522013211x_{40} = -85.1447522013211
x41=−22.3128991295252x_{41} = -22.3128991295252
x42=34.2357686350911x_{42} = 34.2357686350911
x43=−75.7199742405517x_{43} = -75.7199742405517
x44=−73.0420291959627x_{44} = -73.0420291959627
x45=87.6428437461176x_{45} = 87.6428437461176
x46=62.0464549083984x_{46} = 62.0464549083984
x47=−57.3340659280137x_{47} = -57.3340659280137
x48=−60.0120109726027x_{48} = -60.0120109726027
x49=8.63937979737193x_{49} = 8.63937979737193
x50=−69.9004365423729x_{50} = -69.9004365423729
x51=68.329640215578x_{51} = 68.329640215578
x52=12.2446200599625x_{52} = 12.2446200599625
x53=−63.6172512351933x_{53} = -63.6172512351933
x54=−82.0031595477313x_{54} = -82.0031595477313
x55=−19.6349540849362x_{55} = -19.6349540849362
x56=−41.6261026600648x_{56} = -41.6261026600648
x57=−66.2951962797823x_{57} = -66.2951962797823
x58=21.6693980207319x_{58} = 21.6693980207319
x59=30.6305283725005x_{59} = 30.6305283725005
x60=−50.5872330118333x_{60} = -50.5872330118333
x61=56.2269172102196x_{61} = 56.2269172102196
x62=36.9137136796801x_{62} = 36.9137136796801
x63=−97.7111228156802x_{63} = -97.7111228156802
x64=74.6128255227576x_{64} = 74.6128255227576
x65=−0.321750554396642x_{65} = -0.321750554396642
x66=−72.5783815869619x_{66} = -72.5783815869619
x67=65.651695170989x_{67} = 65.651695170989
x68=−28.5960844367048x_{68} = -28.5960844367048
x69=−79.3252145031423x_{69} = -79.3252145031423
x70=15.3862127135523x_{70} = 15.3862127135523
x71=−9.74652851516602x_{71} = -9.74652851516602
x72=−95.0331777710912x_{72} = -95.0331777710912
x73=52.621676947629x_{73} = 52.621676947629
x74=−38.0208623974742x_{74} = -38.0208623974742
x75=−35.3429173528852x_{75} = -35.3429173528852
x76=−31.7376770902946x_{76} = -31.7376770902946
x77=−94.5695301620904x_{77} = -94.5695301620904
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*sin(x)^2 + 2*sin(2*x) + 1.
(2sin⁡2(0)+2sin⁡(0⋅2))+1\left(2 \sin^{2}{\left(0 \right)} + 2 \sin{\left(0 \cdot 2 \right)}\right) + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4sin⁡(x)cos⁡(x)+4cos⁡(2x)=04 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(−sin⁡2(x)−2sin⁡(2x)+cos⁡2(x))=04 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−ilog⁡(−eiatan⁡(43)4)x_{1} = - i \log{\left(- e^{\frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{4}} \right)}
x2=atan⁡(43)4x_{2} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π+atan⁡(sin⁡(atan⁡(43)4)cos⁡(atan⁡(43)4))]\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{4} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{4} \right)}} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[atan⁡(43)4,∞)\left[\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((2sin⁡2(x)+2sin⁡(2x))+1)=⟨−1,5⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + 1\right) = \left\langle -1, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,5⟩y = \left\langle -1, 5\right\rangle
lim⁡x→∞((2sin⁡2(x)+2sin⁡(2x))+1)=⟨−1,5⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + 1\right) = \left\langle -1, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,5⟩y = \left\langle -1, 5\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*sin(x)^2 + 2*sin(2*x) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2sin⁡2(x)+2sin⁡(2x))+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((2sin⁡2(x)+2sin⁡(2x))+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2sin⁡2(x)+2sin⁡(2x))+1=2sin⁡2(x)−2sin⁡(2x)+1\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + 1 = 2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)} + 1
- No
(2sin⁡2(x)+2sin⁡(2x))+1=−2sin⁡2(x)+2sin⁡(2x)−1\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + 1 = - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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