Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 - \frac{\sqrt[3]{\frac{1215}{8} + \frac{27 \sqrt{2071} i}{8}}}{3} - \frac{12}{\sqrt[3]{\frac{1215}{8} + \frac{27 \sqrt{2071} i}{8}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
4 2 3
______________________ / ______________________\ / ______________________\ / ______________________\ ______________________
/ ______ | / ______ | | / ______ | | / ______ | / ______
/ 1215 27*I*\/ 2071 | / 1215 27*I*\/ 2071 | | / 1215 27*I*\/ 2071 | | / 1215 27*I*\/ 2071 | / 1215 27*I*\/ 2071
3 / ---- + ------------- | 3 / ---- + ------------- | | 3 / ---- + ------------- | | 3 / ---- + ------------- | 3 / ---- + -------------
12 \/ 8 8 | 12 \/ 8 8 | | 12 \/ 8 8 | 12 | 12 \/ 8 8 | \/ 8 8
(-1 - --------------------------- - ---------------------------, -18 + |-1 - --------------------------- - ---------------------------| - 18*|-1 - --------------------------- - ---------------------------| - --------------------------- + 4*|-1 - --------------------------- - ---------------------------| - ---------------------------)
______________________ 3 | ______________________ 3 | | ______________________ 3 | ______________________ | ______________________ 3 | 3
/ ______ | / ______ | | / ______ | / ______ | / ______ |
/ 1215 27*I*\/ 2071 | / 1215 27*I*\/ 2071 | | / 1215 27*I*\/ 2071 | / 1215 27*I*\/ 2071 | / 1215 27*I*\/ 2071 |
3 / ---- + ------------- | 3 / ---- + ------------- | | 3 / ---- + ------------- | 3 / ---- + ------------- | 3 / ---- + ------------- |
\/ 8 8 \ \/ 8 8 / \ \/ 8 8 / \/ 8 8 \ \/ 8 8 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2071}}{45} \right)}}{3} \right)} - 1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2071}}{45} \right)}}{3} \right)} - 1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2071}}{45} \right)}}{3} \right)} - 1\right]$$