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x^4+4x^3-18x^2+x-17

Gráfico de la función y = x^4+4x^3-18x^2+x-17

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        4      3       2         
f(x) = x  + 4*x  - 18*x  + x - 17
$$f{\left(x \right)} = \left(x + \left(- 18 x^{2} + \left(x^{4} + 4 x^{3}\right)\right)\right) - 17$$
f = x - 18*x^2 + x^4 + 4*x^3 - 17
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 + 4*x^3 - 18*x^2 + x - 17.
$$-17 + \left(\left(0^{4} + 4 \cdot 0^{3}\right) - 18 \cdot 0^{2}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -17$$
Punto:
(0, -17)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 - \frac{\sqrt[3]{\frac{1215}{8} + \frac{27 \sqrt{2071} i}{8}}}{3} - \frac{12}{\sqrt[3]{\frac{1215}{8} + \frac{27 \sqrt{2071} i}{8}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                                                       4                                                                      2                                                                                                   3                               
                                         ______________________        /                                        ______________________\       /                                        ______________________\                                    /                                        ______________________\         ______________________ 
                                        /               ______         |                                       /               ______ |       |                                       /               ______ |                                    |                                       /               ______ |        /               ______  
                                       /  1215   27*I*\/ 2071          |                                      /  1215   27*I*\/ 2071  |       |                                      /  1215   27*I*\/ 2071  |                                    |                                      /  1215   27*I*\/ 2071  |       /  1215   27*I*\/ 2071   
                                    3 /   ---- + -------------         |                                   3 /   ---- + ------------- |       |                                   3 /   ---- + ------------- |                                    |                                   3 /   ---- + ------------- |    3 /   ---- + -------------  
                   12               \/     8           8               |                  12               \/     8           8       |       |                  12               \/     8           8       |                 12                 |                  12               \/     8           8       |    \/     8           8        
(-1 - --------------------------- - ---------------------------, -18 + |-1 - --------------------------- - ---------------------------|  - 18*|-1 - --------------------------- - ---------------------------|  - --------------------------- + 4*|-1 - --------------------------- - ---------------------------|  - ---------------------------)
           ______________________                3                     |          ______________________                3             |       |          ______________________                3             |         ______________________     |          ______________________                3             |                 3              
          /               ______                                       |         /               ______                               |       |         /               ______                               |        /               ______      |         /               ______                               |                                
         /  1215   27*I*\/ 2071                                        |        /  1215   27*I*\/ 2071                                |       |        /  1215   27*I*\/ 2071                                |       /  1215   27*I*\/ 2071       |        /  1215   27*I*\/ 2071                                |                                
      3 /   ---- + -------------                                       |     3 /   ---- + -------------                               |       |     3 /   ---- + -------------                               |    3 /   ---- + -------------      |     3 /   ---- + -------------                               |                                
      \/     8           8                                             \     \/     8           8                                     /       \     \/     8           8                                     /    \/     8           8            \     \/     8           8                                     /                                


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2071}}{45} \right)}}{3} \right)} - 1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2071}}{45} \right)}}{3} \right)} - 1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2071}}{45} \right)}}{3} \right)} - 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$12 \left(x^{2} + 2 x - 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-3, 1\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \left(- 18 x^{2} + \left(x^{4} + 4 x^{3}\right)\right)\right) - 17\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + \left(- 18 x^{2} + \left(x^{4} + 4 x^{3}\right)\right)\right) - 17\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 + 4*x^3 - 18*x^2 + x - 17, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + \left(- 18 x^{2} + \left(x^{4} + 4 x^{3}\right)\right)\right) - 17}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \left(- 18 x^{2} + \left(x^{4} + 4 x^{3}\right)\right)\right) - 17}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x + \left(- 18 x^{2} + \left(x^{4} + 4 x^{3}\right)\right)\right) - 17 = x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} - x - 17$$
- No
$$\left(x + \left(- 18 x^{2} + \left(x^{4} + 4 x^{3}\right)\right)\right) - 17 = - x^{4} + 4 x^{3} + 18 x^{2} + x + 17$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^4+4x^3-18x^2+x-17