Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2 \sqrt{x} \left(x - 1\right) + \left(2 \sqrt{x} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right) \left(x - 2\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(- 8 \sqrt{x} + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 \sqrt{x}}{x + 1} + \left(x - 1\right) \left(- \frac{8 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) + 4 \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}{4}}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -0.0735369404661426$$
$$x_{2} = 0.447896973541352$$
$$x_{3} = 1.97245800730545$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \sqrt{x} \left(x - 1\right) + \left(2 \sqrt{x} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right) \left(x - 2\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(- 8 \sqrt{x} + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 \sqrt{x}}{x + 1} + \left(x - 1\right) \left(- \frac{8 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) + 4 \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}{4}}{x + 1}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \sqrt{x} \left(x - 1\right) + \left(2 \sqrt{x} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right) \left(x - 2\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(- 8 \sqrt{x} + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 \sqrt{x}}{x + 1} + \left(x - 1\right) \left(- \frac{8 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) + 4 \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}{4}}{x + 1}\right) = - \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.447896973541352\right] \cup \left[1.97245800730545, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0.447896973541352, 1.97245800730545\right]$$