Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
e^3*x+10*e^2*x
-
x^11
-
(-cos(2*x)-sin(2*x))*exp(x)
-
5/(x^2-16)
-
Expresiones idénticas
- sqrtx/(x+ uno)(x- uno)(x- dos)(x- tres)
- raíz cuadrada de x dividir por (x más 1)(x menos 1)(x menos 2)(x menos 3)
- raíz cuadrada de x dividir por (x más uno)(x menos uno)(x menos dos)(x menos tres)
- √x/(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)
- sqrtx/x+1x-1x-2x-3
- sqrtx dividir por (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)
-
Expresiones semejantes
- sqrtx/(x+1)(x-1)(x+2)(x-3)
- sqrtx/(x+1)(x-1)(x-2)(x+3)
- sqrtx/(x+1)(x+1)(x-2)(x-3)
- sqrtx/(x-1)(x-1)(x-2)(x-3)
-
Expresiones con funciones
- sqrtx
- sqrtx-cbrtx
- sqrtx^2
- sqrtx-3-4
- sqrtx+2-3
Gráfico de la función y = sqrtx/(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)
Solución
Ha introducido
[src]
___
\/ x
f(x) = -----*(x - 1)*(x - 2)*(x - 3)
x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right)$$
f = (((sqrt(x)/(x + 1))*(x - 1))*(x - 2))*(x - 3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = 1$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \sqrt{x} \left(x - 1\right) + \left(2 \sqrt{x} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right) \left(x - 2\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(- 8 \sqrt{x} + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 \sqrt{x}}{x + 1} + \left(x - 1\right) \left(- \frac{8 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) + 4 \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}{4}}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -0.0735369404661426$$
$$x_{2} = 0.447896973541352$$
$$x_{3} = 1.97245800730545$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \sqrt{x} \left(x - 1\right) + \left(2 \sqrt{x} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right) \left(x - 2\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(- 8 \sqrt{x} + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 \sqrt{x}}{x + 1} + \left(x - 1\right) \left(- \frac{8 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) + 4 \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}{4}}{x + 1}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \sqrt{x} \left(x - 1\right) + \left(2 \sqrt{x} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right) \left(x - 2\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(- 8 \sqrt{x} + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 \sqrt{x}}{x + 1} + \left(x - 1\right) \left(- \frac{8 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) + 4 \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}{4}}{x + 1}\right) = - \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.447896973541352\right] \cup \left[1.97245800730545, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0.447896973541352, 1.97245800730545\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \sqrt{x} \left(x - 1\right) + \left(2 \sqrt{x} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right) \left(x - 2\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(- 8 \sqrt{x} + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 \sqrt{x}}{x + 1} + \left(x - 1\right) \left(- \frac{8 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) + 4 \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}{4}}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -0.0735369404661426$$
$$x_{2} = 0.447896973541352$$
$$x_{3} = 1.97245800730545$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \sqrt{x} \left(x - 1\right) + \left(2 \sqrt{x} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right) \left(x - 2\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(- 8 \sqrt{x} + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 \sqrt{x}}{x + 1} + \left(x - 1\right) \left(- \frac{8 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) + 4 \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}{4}}{x + 1}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \sqrt{x} \left(x - 1\right) + \left(2 \sqrt{x} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right) \left(x - 2\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(- 8 \sqrt{x} + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 \sqrt{x}}{x + 1} + \left(x - 1\right) \left(- \frac{8 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) + 4 \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}{4}}{x + 1}\right) = - \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.447896973541352\right] \cup \left[1.97245800730545, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0.447896973541352, 1.97245800730545\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right)\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right)\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((sqrt(x)/(x + 1))*(x - 1))*(x - 2))*(x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right) = \frac{\sqrt{- x} \left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{1 - x}$$
- No
$$\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right) = - \frac{\sqrt{- x} \left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{1 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right) = \frac{\sqrt{- x} \left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{1 - x}$$
- No
$$\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right) = - \frac{\sqrt{- x} \left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{1 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar