Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrtx/(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)

Gráfico de la función y = sqrtx/(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___                        
       \/ x                         
f(x) = -----*(x - 1)*(x - 2)*(x - 3)
       x + 1
f(x)=xx+1(x−1)(x−2)(x−3)f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right) 
f = (((sqrt(x)/(x + 1))*(x - 1))*(x - 2))*(x - 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xx+1(x−1)(x−2)(x−3)=0\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
x3=2x_{3} = 2
x4=3x_{4} = 3
Solución numérica
x1=3x_{1} = 3
x2=2x_{2} = 2
x3=0x_{3} = 0
x4=1x_{4} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (((sqrt(x)/(x + 1))*(x - 1))*(x - 2))*(x - 3).
(−3)(−2)(−1)01\left(-3\right) \left(-2\right) \left(-1\right) \frac{\sqrt{0}}{1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2x(x−1)+(2x−(x−1)(2xx+1−1x))(x−2)−(x−3)(−8x+(x−2)(8xx+1+(x−1)(−8x(x+1)2+4x(x+1)+1x32)−4x)+4(x−1)(2xx+1−1x))4x+1=0\frac{2 \sqrt{x} \left(x - 1\right) + \left(2 \sqrt{x} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right) \left(x - 2\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(- 8 \sqrt{x} + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 \sqrt{x}}{x + 1} + \left(x - 1\right) \left(- \frac{8 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) + 4 \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}{4}}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.0735369404661426x_{1} = -0.0735369404661426
x2=0.447896973541352x_{2} = 0.447896973541352
x3=1.97245800730545x_{3} = 1.97245800730545
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(2x(x−1)+(2x−(x−1)(2xx+1−1x))(x−2)−(x−3)(−8x+(x−2)(8xx+1+(x−1)(−8x(x+1)2+4x(x+1)+1x32)−4x)+4(x−1)(2xx+1−1x))4x+1)=∞i\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \sqrt{x} \left(x - 1\right) + \left(2 \sqrt{x} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right) \left(x - 2\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(- 8 \sqrt{x} + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 \sqrt{x}}{x + 1} + \left(x - 1\right) \left(- \frac{8 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) + 4 \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}{4}}{x + 1}\right) = \infty i
lim⁡x→−1+(2x(x−1)+(2x−(x−1)(2xx+1−1x))(x−2)−(x−3)(−8x+(x−2)(8xx+1+(x−1)(−8x(x+1)2+4x(x+1)+1x32)−4x)+4(x−1)(2xx+1−1x))4x+1)=−∞i\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \sqrt{x} \left(x - 1\right) + \left(2 \sqrt{x} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right) \left(x - 2\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(- 8 \sqrt{x} + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 \sqrt{x}}{x + 1} + \left(x - 1\right) \left(- \frac{8 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) + 4 \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}{4}}{x + 1}\right) = - \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0.447896973541352]∪[1.97245800730545,∞)\left(-\infty, 0.447896973541352\right] \cup \left[1.97245800730545, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0.447896973541352,1.97245800730545]\left[0.447896973541352, 1.97245800730545\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xx+1(x−1)(x−2)(x−3))=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right)\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xx+1(x−1)(x−2)(x−3))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((sqrt(x)/(x + 1))*(x - 1))*(x - 2))*(x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−3)(x−2)(x−1)x(x+1))=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x−3)(x−2)(x−1)x(x+1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xx+1(x−1)(x−2)(x−3)=−x(−x−3)(−x−2)(−x−1)1−x\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right) = \frac{\sqrt{- x} \left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{1 - x}
- No
xx+1(x−1)(x−2)(x−3)=−−x(−x−3)(−x−2)(−x−1)1−x\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right) = - \frac{\sqrt{- x} \left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{1 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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