Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
-
Expresiones idénticas
- ((8x- seis)x^ dos)/((x- uno)*(dos -x))
- ((8x menos 6)x al cuadrado ) dividir por ((x menos 1) multiplicar por (2 menos x))
- ((8x menos seis)x en el grado dos) dividir por ((x menos uno) multiplicar por (dos menos x))
- ((8x-6)x2)/((x-1)*(2-x))
- 8x-6x2/x-1*2-x
- ((8x-6)x²)/((x-1)*(2-x))
- ((8x-6)x en el grado 2)/((x-1)*(2-x))
- ((8x-6)x^2)/((x-1)(2-x))
- ((8x-6)x2)/((x-1)(2-x))
- 8x-6x2/x-12-x
- 8x-6x^2/x-12-x
- ((8x-6)x^2) dividir por ((x-1)*(2-x))
-
Expresiones semejantes
- ((8x-6)x^2)/((x+1)*(2-x))
- ((8x-6)x^2)/((x-1)*(2+x))
- ((8x+6)x^2)/((x-1)*(2-x))
Gráfico de la función y = ((8x-6)x^2)/((x-1)*(2-x))
Solución
Ha introducido
[src]
2
(8*x - 6)*x
f(x) = ---------------
(x - 1)*(2 - x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} \left(8 x - 6\right)}{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)}$$
f = (x^2*(8*x - 6))/(((2 - x)*(x - 1)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} \left(8 x - 6\right)}{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3}{4}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.75$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} \left(8 x - 6\right)}{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3}{4}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.75$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{2} \left(2 x - 3\right) \left(8 x - 6\right)}{\left(2 - x\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)} \left(8 x^{2} + 2 x \left(8 x - 6\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 + \frac{5}{4 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{5 i}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{5 i}{8}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2 + \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, 2 + \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 + \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{2} \left(2 x - 3\right) \left(8 x - 6\right)}{\left(2 - x\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)} \left(8 x^{2} + 2 x \left(8 x - 6\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 + \frac{5}{4 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{5 i}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{5 i}{8}}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
2
/ _________ \ / _________ \
| / 5 5*I 5 | | / 5 5*I 10 |
|2 + 3 / - + --- + ---------------| *|10 + 8*3 / - + --- + -------------|
| \/ 4 8 _________| | \/ 4 8 _________|
| / 5 5*I | | / 5 5*I |
_________ | 4*3 / - + --- | | 3 / - + --- |
/ 5 5*I 5 \ \/ 4 8 / \ \/ 4 8 /
(2 + 3 / - + --- + ---------------, -----------------------------------------------------------------------------)
\/ 4 8 _________ / _________ \ / _________ \
/ 5 5*I | / 5 5*I 5 | | / 5 5*I 5 |
4*3 / - + --- |- 3 / - + --- - ---------------|*|1 + 3 / - + --- + ---------------|
\/ 4 8 | \/ 4 8 _________| | \/ 4 8 _________|
| / 5 5*I | | / 5 5*I |
| 4*3 / - + --- | | 4*3 / - + --- |
\ \/ 4 8 / \ \/ 4 8 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2 + \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, 2 + \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 + \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(4 x - 3\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 24 x + \frac{12 x \left(2 x - 3\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 6\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt[3]{50}}{19} - \frac{\sqrt[3]{20}}{19} + \frac{18}{19}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(4 x - 3\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 24 x + \frac{12 x \left(2 x - 3\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 6\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(4 x - 3\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 24 x + \frac{12 x \left(2 x - 3\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 6\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(4 x - 3\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 24 x + \frac{12 x \left(2 x - 3\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 6\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(4 x - 3\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 24 x + \frac{12 x \left(2 x - 3\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 6\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt[3]{50}}{19} - \frac{\sqrt[3]{20}}{19} + \frac{18}{19}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt[3]{50}}{19} - \frac{\sqrt[3]{20}}{19} + \frac{18}{19}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(4 x - 3\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 24 x + \frac{12 x \left(2 x - 3\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 6\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt[3]{50}}{19} - \frac{\sqrt[3]{20}}{19} + \frac{18}{19}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(4 x - 3\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 24 x + \frac{12 x \left(2 x - 3\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 6\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(4 x - 3\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 24 x + \frac{12 x \left(2 x - 3\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 6\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(4 x - 3\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 24 x + \frac{12 x \left(2 x - 3\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 6\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(4 x - 3\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 24 x + \frac{12 x \left(2 x - 3\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 6\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt[3]{50}}{19} - \frac{\sqrt[3]{20}}{19} + \frac{18}{19}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt[3]{50}}{19} - \frac{\sqrt[3]{20}}{19} + \frac{18}{19}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \left(8 x - 6\right)}{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(8 x - 6\right)}{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \left(8 x - 6\right)}{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(8 x - 6\right)}{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((8*x - 6)*x^2)/(((x - 1)*(2 - x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \frac{1}{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)} \left(8 x - 6\right)\right) = -8$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - 8 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \frac{1}{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)} \left(8 x - 6\right)\right) = -8$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - 8 x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \frac{1}{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)} \left(8 x - 6\right)\right) = -8$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - 8 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \frac{1}{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)} \left(8 x - 6\right)\right) = -8$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - 8 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} \left(8 x - 6\right)}{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)} = \frac{x^{2} \left(- 8 x - 6\right)}{\left(- x - 1\right) \left(x + 2\right)}$$
- No
$$\frac{x^{2} \left(8 x - 6\right)}{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)} = - \frac{x^{2} \left(- 8 x - 6\right)}{\left(- x - 1\right) \left(x + 2\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} \left(8 x - 6\right)}{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)} = \frac{x^{2} \left(- 8 x - 6\right)}{\left(- x - 1\right) \left(x + 2\right)}$$
- No
$$\frac{x^{2} \left(8 x - 6\right)}{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)} = - \frac{x^{2} \left(- 8 x - 6\right)}{\left(- x - 1\right) \left(x + 2\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar