Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
7-x-2*x^2
-
(5-x)/(x-2)^2
-
y=xe^x
-
2*x+8/x
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos +4x+ ocho)/((x^ tres)+ veintisiete)
- (x al cuadrado más 4x más 8) dividir por ((x al cubo ) más 27)
- (x en el grado dos más 4x más ocho) dividir por ((x en el grado tres) más veintisiete)
- (x2+4x+8)/((x3)+27)
- x2+4x+8/x3+27
- (x²+4x+8)/((x³)+27)
- (x en el grado 2+4x+8)/((x en el grado 3)+27)
- x^2+4x+8/x^3+27
- (x^2+4x+8) dividir por ((x^3)+27)
-
Expresiones semejantes
- (x^2-4x+8)/((x^3)+27)
- (x^2+4x+8)/((x^3)-27)
- (x^2+4x-8)/((x^3)+27)
Gráfico de la función y = (x^2+4x+8)/((x^3)+27)
Solución
Ha introducido
[src]
2
x + 4*x + 8
f(x) = ------------
3
x + 27
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 8}{x^{3} + 27}$$
f = (x^2 + 4*x + 8)/(x^3 + 27)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{1} = -3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 8}{x^{3} + 27} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 8}{x^{3} + 27} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 8\right)}{\left(x^{3} + 27\right)^{2}} + \frac{2 x + 4}{x^{3} + 27} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}} - \frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + \frac{172}{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}{2}$$
$$x_{2} = -2 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}} - \frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + \frac{172}{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2 - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}} - \frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + \frac{172}{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -2 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}} - \frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + \frac{172}{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-2 - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}} - \frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + \frac{172}{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}{2}, -2 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}} - \frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + \frac{172}{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}} - \frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + \frac{172}{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}{2}\right] \cup \left[-2 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}} - \frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + \frac{172}{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 8\right)}{\left(x^{3} + 27\right)^{2}} + \frac{2 x + 4}{x^{3} + 27} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}} - \frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + \frac{172}{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}{2}$$
$$x_{2} = -2 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}} - \frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + \frac{172}{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
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| / 32 / 1849 3*\/ 372585 172 |
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| / / 1849 3*\/ 372585 32 / 3 / ---- + ------------ / / 1849 3*\/ 372585 32 |
| / 2*3 / ---- + ------------ + -------------------------- / \/ 4 4 / 2*3 / ---- + ------------ + -------------------------- |
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_____________________________________________________________________________________________________________________________________ | / / ________ / / / ________ | _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________
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/ / ________ | / 3 / ---- + ------------ / / 3 / ---- + ------------ | / / ________ / / ________
/ 32 / 1849 3*\/ 372585 172 | \/ \/ 4 4 \/ \/ \/ 4 4 | / 32 / 1849 3*\/ 372585 172 / / 1849 3*\/ 372585 32
/ - -------------------------- - 2*3 / ---- + ------------ + --------------------------------------------------------------------- |-2 + --------------------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| - 2* / - -------------------------- - 2*3 / ---- + ------------ + --------------------------------------------------------------------- + 2* / 2*3 / ---- + ------------ + --------------------------
___________________________________________________________ / _____________________ \/ 4 4 ___________________________________________________________ \ 2 2 / / _____________________ \/ 4 4 ___________________________________________________________ / \/ 4 4 _____________________
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/ / 1849 3*\/ 372585 32 / 3 / ---- + ------------ / / 1849 3*\/ 372585 32 / 3 / ---- + ------------ / / 1849 3*\/ 372585 32 / 3 / ---- + ------------
/ 2*3 / ---- + ------------ + -------------------------- / \/ 4 4 / 2*3 / ---- + ------------ + -------------------------- / \/ 4 4 / 2*3 / ---- + ------------ + -------------------------- \/ \/ 4 4
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/ / 1849 3*\/ 372585 / / / 1849 3*\/ 372585 / / / 1849 3*\/ 372585
/ 3 / ---- + ------------ / / 3 / ---- + ------------ / / 3 / ---- + ------------
\/ \/ 4 4 \/ \/ \/ 4 4 \/ \/ \/ 4 4
(-2 + --------------------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
2 2 3
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| / 2*3 / ---- + ------------ + -------------------------- / \/ 4 4 / 2*3 / ---- + ------------ + -------------------------- |
| / \/ 4 4 _____________________ / / \/ 4 4 _____________________ |
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| / 3 / ---- + ------------ / / 3 / ---- + ------------ |
| \/ \/ 4 4 \/ \/ \/ 4 4 |
27 + |-2 + --------------------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
\ 2 2 / 2
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/ 32 / 1849 3*\/ 372585 172 | \/ \/ 4 4 \/ \/ \/ 4 4 | / / 1849 3*\/ 372585 32 / 32 / 1849 3*\/ 372585 172
/ - -------------------------- - 2*3 / ---- + ------------ + --------------------------------------------------------------------- |-2 + --------------------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| + 2* / 2*3 / ---- + ------------ + -------------------------- + 2* / - -------------------------- - 2*3 / ---- + ------------ + ---------------------------------------------------------------------
___________________________________________________________ / _____________________ \/ 4 4 ___________________________________________________________ \ 2 2 / / \/ 4 4 _____________________ / _____________________ \/ 4 4 ___________________________________________________________
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/ / 1849 3*\/ 372585 32 / 3 / ---- + ------------ / / 1849 3*\/ 372585 32 / 3 / ---- + ------------ / 3 / ---- + ------------ / / 1849 3*\/ 372585 32
/ 2*3 / ---- + ------------ + -------------------------- / \/ 4 4 / 2*3 / ---- + ------------ + -------------------------- \/ \/ 4 4 / \/ 4 4 / 2*3 / ---- + ------------ + --------------------------
/ \/ 4 4 _____________________ / / \/ 4 4 _____________________ / / \/ 4 4 _____________________
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/ / 1849 3*\/ 372585 / / / 1849 3*\/ 372585 / / / 1849 3*\/ 372585
/ 3 / ---- + ------------ / / 3 / ---- + ------------ / / 3 / ---- + ------------
\/ \/ 4 4 \/ \/ \/ 4 4 \/ \/ \/ 4 4
(-2 + --------------------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
2 2 3
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| / 2*3 / ---- + ------------ + -------------------------- / \/ 4 4 / 2*3 / ---- + ------------ + -------------------------- |
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| / / 1849 3*\/ 372585 / / / 1849 3*\/ 372585 |
| / 3 / ---- + ------------ / / 3 / ---- + ------------ |
| \/ \/ 4 4 \/ \/ \/ 4 4 |
27 + |-2 + --------------------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
\ 2 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2 - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}} - \frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + \frac{172}{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -2 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}} - \frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + \frac{172}{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-2 - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}} - \frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + \frac{172}{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}{2}, -2 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}} - \frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + \frac{172}{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}} - \frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + \frac{172}{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}{2}\right] \cup \left[-2 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}} - \frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + \frac{172}{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{32}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{372585}}{4} + \frac{1849}{4}}}}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{6 x^{2} \left(x + 2\right)}{x^{3} + 27} + \frac{3 x \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 27} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 8\right)}{x^{3} + 27} + 1\right)}{x^{3} + 27} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0.645277276617267$$
$$x_{2} = 3.71899305234738$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{2} \left(x + 2\right)}{x^{3} + 27} + \frac{3 x \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 27} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 8\right)}{x^{3} + 27} + 1\right)}{x^{3} + 27}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{2} \left(x + 2\right)}{x^{3} + 27} + \frac{3 x \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 27} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 8\right)}{x^{3} + 27} + 1\right)}{x^{3} + 27}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.645277276617267\right] \cup \left[3.71899305234738, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0.645277276617267, 3.71899305234738\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{6 x^{2} \left(x + 2\right)}{x^{3} + 27} + \frac{3 x \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 27} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 8\right)}{x^{3} + 27} + 1\right)}{x^{3} + 27} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0.645277276617267$$
$$x_{2} = 3.71899305234738$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{2} \left(x + 2\right)}{x^{3} + 27} + \frac{3 x \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 27} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 8\right)}{x^{3} + 27} + 1\right)}{x^{3} + 27}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{2} \left(x + 2\right)}{x^{3} + 27} + \frac{3 x \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 27} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 8\right)}{x^{3} + 27} + 1\right)}{x^{3} + 27}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.645277276617267\right] \cup \left[3.71899305234738, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0.645277276617267, 3.71899305234738\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{1} = -3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 8}{x^{3} + 27}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 8}{x^{3} + 27}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 8}{x^{3} + 27}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 8}{x^{3} + 27}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 4*x + 8)/(x^3 + 27), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 8}{x \left(x^{3} + 27\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 8}{x \left(x^{3} + 27\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 8}{x \left(x^{3} + 27\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 8}{x \left(x^{3} + 27\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 8}{x^{3} + 27} = \frac{x^{2} - 4 x + 8}{27 - x^{3}}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 8}{x^{3} + 27} = - \frac{x^{2} - 4 x + 8}{27 - x^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 8}{x^{3} + 27} = \frac{x^{2} - 4 x + 8}{27 - x^{3}}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 8}{x^{3} + 27} = - \frac{x^{2} - 4 x + 8}{27 - x^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico