Sr Examen

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(x^3+3x^2-2x-2)/(2-3x^2)
Trazado el gráfico de la función/ (x^3+3x^2-2x-2)/(2-3x^2)

Gráfico de la función y = (x^3+3x^2-2x-2)/(2-3x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2          
       x  + 3*x  - 2*x - 2
f(x) = -------------------
                    2     
             2 - 3*x
f(x)=(−2x+(x3+3x2))−22−3x2f{\left(x \right)} = \frac{\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2}{2 - 3 x^{2}} 
f = (-2*x + x^3 + 3*x^2 - 2)/(2 - 3*x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−0.816496580927726x_{1} = -0.816496580927726
x2=0.816496580927726x_{2} = 0.816496580927726
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−2x+(x3+3x2))−22−3x2=0\frac{\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2}{2 - 3 x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
x2=−2−2x_{2} = -2 - \sqrt{2}
x3=−2+2x_{3} = -2 + \sqrt{2}
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=−3.41421356237309x_{2} = -3.41421356237309
x3=−0.585786437626905x_{3} = -0.585786437626905
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^3 + 3*x^2 - 2*x - 2)/(2 - 3*x^2).
−2+((03+3⋅02)−0)2−3⋅02\frac{-2 + \left(\left(0^{3} + 3 \cdot 0^{2}\right) - 0\right)}{2 - 3 \cdot 0^{2}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x((−2x+(x3+3x2))−2)(2−3x2)2+3x2+6x−22−3x2=0\frac{6 x \left(\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2\right)}{\left(2 - 3 x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} + 6 x - 2}{2 - 3 x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(−x+2x(3x2+6x−2)3x2−2−1−(12x23x2−2−1)(x3+3x2−2x−2)3x2−2)3x2−2=0\frac{6 \left(- x + \frac{2 x \left(3 x^{2} + 6 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2} - 1 - \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 2} - 1\right) \left(x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2}\right)}{3 x^{2} - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−0.816496580927726x_{1} = -0.816496580927726
x2=0.816496580927726x_{2} = 0.816496580927726

lim⁡x→−0.816496580927726−(6(−x+2x(3x2+6x−2)3x2−2−1−(12x23x2−2−1)(x3+3x2−2x−2)3x2−2)3x2−2)=−∞\lim_{x \to -0.816496580927726^-}\left(\frac{6 \left(- x + \frac{2 x \left(3 x^{2} + 6 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2} - 1 - \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 2} - 1\right) \left(x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2}\right)}{3 x^{2} - 2}\right) = -\infty
lim⁡x→−0.816496580927726+(6(−x+2x(3x2+6x−2)3x2−2−1−(12x23x2−2−1)(x3+3x2−2x−2)3x2−2)3x2−2)=∞\lim_{x \to -0.816496580927726^+}\left(\frac{6 \left(- x + \frac{2 x \left(3 x^{2} + 6 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2} - 1 - \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 2} - 1\right) \left(x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2}\right)}{3 x^{2} - 2}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−0.816496580927726x_{1} = -0.816496580927726
- es el punto de flexión
lim⁡x→0.816496580927726−(6(−x+2x(3x2+6x−2)3x2−2−1−(12x23x2−2−1)(x3+3x2−2x−2)3x2−2)3x2−2)=−∞\lim_{x \to 0.816496580927726^-}\left(\frac{6 \left(- x + \frac{2 x \left(3 x^{2} + 6 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2} - 1 - \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 2} - 1\right) \left(x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2}\right)}{3 x^{2} - 2}\right) = -\infty
lim⁡x→0.816496580927726+(6(−x+2x(3x2+6x−2)3x2−2−1−(12x23x2−2−1)(x3+3x2−2x−2)3x2−2)3x2−2)=∞\lim_{x \to 0.816496580927726^+}\left(\frac{6 \left(- x + \frac{2 x \left(3 x^{2} + 6 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2} - 1 - \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 2} - 1\right) \left(x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2}\right)}{3 x^{2} - 2}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=0.816496580927726x_{2} = 0.816496580927726
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−0.816496580927726x_{1} = -0.816496580927726
x2=0.816496580927726x_{2} = 0.816496580927726
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−2x+(x3+3x2))−22−3x2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2}{2 - 3 x^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−2x+(x3+3x2))−22−3x2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2}{2 - 3 x^{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 + 3*x^2 - 2*x - 2)/(2 - 3*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−2x+(x3+3x2))−2x(2−3x2))=−13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2}{x \left(2 - 3 x^{2}\right)}\right) = - \frac{1}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−x3y = - \frac{x}{3}
lim⁡x→∞((−2x+(x3+3x2))−2x(2−3x2))=−13\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2}{x \left(2 - 3 x^{2}\right)}\right) = - \frac{1}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−x3y = - \frac{x}{3}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−2x+(x3+3x2))−22−3x2=−x3+3x2+2x−22−3x2\frac{\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2}{2 - 3 x^{2}} = \frac{- x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - 2}{2 - 3 x^{2}}
- No
(−2x+(x3+3x2))−22−3x2=−−x3+3x2+2x−22−3x2\frac{\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2}{2 - 3 x^{2}} = - \frac{- x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - 2}{2 - 3 x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^3+3x^2-2x-2)/(2-3x^2)
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