Sr Examen

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(x^3+3x^2-2x-2)/(2-3x^2)

Gráfico de la función y = (x^3+3x^2-2x-2)/(2-3x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        3      2          
       x  + 3*x  - 2*x - 2
f(x) = -------------------
                    2     
             2 - 3*x      
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2}{2 - 3 x^{2}}$$
f = (-2*x + x^3 + 3*x^2 - 2)/(2 - 3*x^2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.816496580927726$$
$$x_{2} = 0.816496580927726$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2}{2 - 3 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -2 - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = -2 + \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -3.41421356237309$$
$$x_{3} = -0.585786437626905$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^3 + 3*x^2 - 2*x - 2)/(2 - 3*x^2).
$$\frac{-2 + \left(\left(0^{3} + 3 \cdot 0^{2}\right) - 0\right)}{2 - 3 \cdot 0^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{6 x \left(\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2\right)}{\left(2 - 3 x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} + 6 x - 2}{2 - 3 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 \left(- x + \frac{2 x \left(3 x^{2} + 6 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2} - 1 - \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 2} - 1\right) \left(x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2}\right)}{3 x^{2} - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.816496580927726$$
$$x_{2} = 0.816496580927726$$

$$\lim_{x \to -0.816496580927726^-}\left(\frac{6 \left(- x + \frac{2 x \left(3 x^{2} + 6 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2} - 1 - \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 2} - 1\right) \left(x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2}\right)}{3 x^{2} - 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -0.816496580927726^+}\left(\frac{6 \left(- x + \frac{2 x \left(3 x^{2} + 6 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2} - 1 - \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 2} - 1\right) \left(x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2}\right)}{3 x^{2} - 2}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.816496580927726$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0.816496580927726^-}\left(\frac{6 \left(- x + \frac{2 x \left(3 x^{2} + 6 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2} - 1 - \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 2} - 1\right) \left(x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2}\right)}{3 x^{2} - 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0.816496580927726^+}\left(\frac{6 \left(- x + \frac{2 x \left(3 x^{2} + 6 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2} - 1 - \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 2} - 1\right) \left(x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2\right)}{3 x^{2} - 2}\right)}{3 x^{2} - 2}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0.816496580927726$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.816496580927726$$
$$x_{2} = 0.816496580927726$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2}{2 - 3 x^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2}{2 - 3 x^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 + 3*x^2 - 2*x - 2)/(2 - 3*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2}{x \left(2 - 3 x^{2}\right)}\right) = - \frac{1}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \frac{x}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2}{x \left(2 - 3 x^{2}\right)}\right) = - \frac{1}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - \frac{x}{3}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2}{2 - 3 x^{2}} = \frac{- x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - 2}{2 - 3 x^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(- 2 x + \left(x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) - 2}{2 - 3 x^{2}} = - \frac{- x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - 2}{2 - 3 x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^3+3x^2-2x-2)/(2-3x^2)