Sr Examen

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cos(3-4*x)
Trazado el gráfico de la función/ cos(3-4*x)

Gráfico de la función y = cos(3-4*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(3 - 4*x)
f(x)=cos⁡(3−4x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(3 - 4 x \right)} 
f = cos(3 - 4*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(3−4x)=0\cos{\left(3 - 4 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=34+3π8x_{1} = \frac{3}{4} + \frac{3 \pi}{8}
x2=π8+34x_{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{3}{4}
Solución numérica
x1=8.99668071567321x_{1} = 8.99668071567321
x2=100.102867669777x_{2} = 100.102867669777
x3=49.8373852123405x_{3} = 49.8373852123405
x4=−45.9811907221482x_{4} = -45.9811907221482
x5=−53.8351723561227x_{5} = -53.8351723561227
x6=−56.191366846315x_{6} = -56.191366846315
x7=56.1205705195201x_{7} = 56.1205705195201
x8=−60.1183576633022x_{8} = -60.1183576633022
x9=45.9103943953533x_{9} = 45.9103943953533
x10=63.9745521534946x_{10} = 63.9745521534946
x11=15.2798660228528x_{11} = 15.2798660228528
x12=81.2533117482384x_{12} = 81.2533117482384
x13=−65.6161448070844x_{13} = -65.6161448070844
x14=85.9657007286231x_{14} = 85.9657007286231
x15=18.4214586764426x_{15} = 18.4214586764426
x16=430.755494460103x_{16} = 430.755494460103
x17=−83.6803025652257x_{17} = -83.6803025652257
x18=96.17587685279x_{18} = 96.17587685279
x19=40.4126072515711x_{19} = 40.4126072515711
x20=62.4037558266997x_{20} = 62.4037558266997
x21=−47.5519870489431x_{21} = -47.5519870489431
x22=4.28429173528852x_{22} = 4.28429173528852
x23=66.3307466436869x_{23} = 66.3307466436869
x24=67.9015429704818x_{24} = 67.9015429704818
x25=84.3949044018282x_{25} = 84.3949044018282
x26=23.9192458202247x_{26} = 23.9192458202247
x27=−82.1095062384308x_{27} = -82.1095062384308
x28=16.0652641862502x_{28} = 16.0652641862502
x29=26.2754403104171x_{29} = 26.2754403104171
x30=−13.7798660228528x_{30} = -13.7798660228528
x31=41.983403578366x_{31} = 41.983403578366
x32=−52.2643760293278x_{32} = -52.2643760293278
x33=34.1294219443916x_{33} = 34.1294219443916
x34=70.2577374606742x_{34} = 70.2577374606742
x35=44.3395980685584x_{35} = 44.3395980685584
x36=78.1117190946487x_{36} = 78.1117190946487
x37=49.0519870489431x_{37} = 49.0519870489431
x38=89.8926915456104x_{38} = 89.8926915456104
x39=−25.5608384738145x_{39} = -25.5608384738145
x40=38.0564127613788x_{40} = 38.0564127613788
x41=−49.9081815391354x_{41} = -49.9081815391354
x42=−78.1825154214436x_{42} = -78.1825154214436
x43=−67.9723392972767x_{43} = -67.9723392972767
x44=5.85508806208341x_{44} = 5.85508806208341
x45=−71.899330114264x_{45} = -71.899330114264
x46=−34.2002182711865x_{46} = -34.2002182711865
x47=−20.0630513300324x_{47} = -20.0630513300324
x48=−35.7710145979813x_{48} = -35.7710145979813
x49=−100.173663996572x_{49} = -100.173663996572
x50=−64.0453484802895x_{50} = -64.0453484802895
x51=−202.27542523824x_{51} = -202.27542523824
x52=−23.9900421470196x_{52} = -23.9900421470196
x53=−39.6980054149686x_{53} = -39.6980054149686
x54=−90.7488860358027x_{54} = -90.7488860358027
x55=52.1935797025329x_{55} = 52.1935797025329
x56=−86.036497055418x_{56} = -86.036497055418
x57=−1.99889357189107x_{57} = -1.99889357189107
x58=71.8285337874691x_{58} = 71.8285337874691
x59=−17.70685683984x_{59} = -17.70685683984
x60=−3.56968989868597x_{60} = -3.56968989868597
x61=60.0475613365073x_{61} = 60.0475613365073
x62=−93.8904786893925x_{62} = -93.8904786893925
x63=−79.7533117482384x_{63} = -79.7533117482384
x64=−38.1272090881737x_{64} = -38.1272090881737
x65=−98.6028676697772x_{65} = -98.6028676697772
x66=30.2024311274043x_{66} = 30.2024311274043
x67=−42.0541999051609x_{67} = -42.0541999051609
x68=−87.6072933822129x_{68} = -87.6072933822129
x69=−97.8174695063798x_{69} = -97.8174695063798
x70=82.0387099116359x_{70} = 82.0387099116359
x71=−5.92588438887831x_{71} = -5.92588438887831
x72=−27.9170329640069x_{72} = -27.9170329640069
x73=−9.85287520586555x_{73} = -9.85287520586555
x74=−57.7621631731099x_{74} = -57.7621631731099
x75=−16.1360605130451x_{75} = -16.1360605130451
x76=22.3484494934298x_{76} = 22.3484494934298
x77=−89.9634878724053x_{77} = -89.9634878724053
x78=−31.8440237809941x_{78} = -31.8440237809941
x79=93.8196823625976x_{79} = 93.8196823625976
x80=19.9922550032375x_{80} = 19.9922550032375
x81=74.1847282776614x_{81} = 74.1847282776614
x82=8.21128255227576x_{82} = 8.21128255227576
x83=0.357300918301276x_{83} = 0.357300918301276
x84=48.2665888855456x_{84} = 48.2665888855456
x85=1.92809724509617x_{85} = 1.92809724509617
x86=−61.6891539900971x_{86} = -61.6891539900971
x87=12.138273369263x_{87} = 12.138273369263
x88=−43.6249962319558x_{88} = -43.6249962319558
x89=27.846236637212x_{89} = 27.846236637212
x90=88.3218952188155x_{90} = 88.3218952188155
x91=92.2488860358027x_{91} = 92.2488860358027
x92=−21.6338476568273x_{92} = -21.6338476568273
x93=74.9701264410589x_{93} = 74.9701264410589
x94=−75.8263209312512x_{94} = -75.8263209312512
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(3 - 4*x).
cos⁡(3−0)\cos{\left(3 - 0 \right)}
Resultado:
f(0)=cos⁡(3)f{\left(0 \right)} = \cos{\left(3 \right)}
Punto:
(0, cos(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4sin⁡(4x−3)=0- 4 \sin{\left(4 x - 3 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=34x_{1} = \frac{3}{4}
x2=34+π4x_{2} = \frac{3}{4} + \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
(3/4, 1)

 3   pi     
(- + --, -1)
 4   4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=34+π4x_{1} = \frac{3}{4} + \frac{\pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=34x_{1} = \frac{3}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,34]∪[34+π4,∞)\left(-\infty, \frac{3}{4}\right] \cup \left[\frac{3}{4} + \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[34,34+π4]\left[\frac{3}{4}, \frac{3}{4} + \frac{\pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−16cos⁡(4x−3)=0- 16 \cos{\left(4 x - 3 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=34+3π8x_{1} = \frac{3}{4} + \frac{3 \pi}{8}
x2=π8+34x_{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{3}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π8+34,34+3π8]\left[\frac{\pi}{8} + \frac{3}{4}, \frac{3}{4} + \frac{3 \pi}{8}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π8+34]∪[34+3π8,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{8} + \frac{3}{4}\right] \cup \left[\frac{3}{4} + \frac{3 \pi}{8}, \infty\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(3 - 4*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(3−4x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(3 - 4 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(3−4x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(3 - 4 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(3−4x)=cos⁡(4x+3)\cos{\left(3 - 4 x \right)} = \cos{\left(4 x + 3 \right)}
- No
cos⁡(3−4x)=−cos⁡(4x+3)\cos{\left(3 - 4 x \right)} = - \cos{\left(4 x + 3 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(3-4*x)
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