Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 3^x-x^-3

Gráfico de la función y = 3^x-x^-3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x   1 
f(x) = 3  - --
             3
            x
f(x)=3x−1x3f{\left(x \right)} = 3^{x} - \frac{1}{x^{3}} 
f = 3^x - 1/x^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50000100000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3x−1x3=03^{x} - \frac{1}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3W(log⁡(3)3)log⁡(3)x_{1} = \frac{3 W\left(\frac{\log{\left(3 \right)}}{3}\right)}{\log{\left(3 \right)}}
Solución numérica
x1=−25362.5803223436x_{1} = -25362.5803223436
x2=−10105.8084969239x_{2} = -10105.8084969239
x3=−37229.0173858502x_{3} = -37229.0173858502
x4=−33838.605204445x_{4} = -33838.605204445
x5=−18581.7718990583x_{5} = -18581.7718990583
x6=−34686.2081625031x_{6} = -34686.2081625031
x7=−26210.1823018004x_{7} = -26210.1823018004
x8=−11800.9927225258x_{8} = -11800.9927225258
x9=−32143.3994905401x_{9} = -32143.3994905401
x10=−22819.7753899021x_{10} = -22819.7753899021
x11=−35533.8111815333x_{11} = -35533.8111815333
x12=0.757696978830077x_{12} = 0.757696978830077
x13=−13496.1823773059x_{13} = -13496.1823773059
x14=−23667.3768483792x_{14} = -23667.3768483792
x15=−24514.9784989468x_{15} = -24514.9784989468
x16=−27905.3866720051x_{16} = -27905.3866720051
x17=−32991.0023120587x_{17} = -32991.0023120587
x18=−31295.7967456477x_{18} = -31295.7967456477
x19=−38076.6205637343x_{19} = -38076.6205637343
x20=−30448.1940837816x_{20} = -30448.1940837816
x21=−28752.9890385016x_{21} = -28752.9890385016
x22=−29600.5915120748x_{22} = -29600.5915120748
x23=−27057.7844226494x_{23} = -27057.7844226494
x24=−20276.9724079398x_{24} = -20276.9724079398
x25=−14343.7788633668x_{25} = -14343.7788633668
x26=−16886.5729892823x_{26} = -16886.5729892823
x27=−41467.0337078697x_{27} = -41467.0337078697
x28=−38924.2237877047x_{28} = -38924.2237877047
x29=−39771.8270548144x_{29} = -39771.8270548144
x30=−42314.6370890542x_{30} = -42314.6370890542
x31=−36381.4142572736x_{31} = -36381.4142572736
x32=−12648.5869274109x_{32} = -12648.5869274109
x33=−19429.3719797754x_{33} = -19429.3719797754
x34=−10953.3999636623x_{34} = -10953.3999636623
x35=−40619.4303623627x_{35} = -40619.4303623627
x36=−16038.9742925398x_{36} = -16038.9742925398
x37=−15191.3762140447x_{37} = -15191.3762140447
x38=−17734.1722156161x_{38} = -17734.1722156161
x39=−9258.21575568866x_{39} = -9258.21575568866
x40=−21124.5731417223x_{40} = -21124.5731417223
x41=−21972.1741457489x_{41} = -21972.1741457489
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3^x - 1/x^3.
−10+30- \frac{1}{0} + 3^{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3xlog⁡(3)+3x4=03^{x} \log{\left(3 \right)} + \frac{3}{x^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3xlog⁡(3)2−12x5=03^{x} \log{\left(3 \right)}^{2} - \frac{12}{x^{5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5W(125log⁡(3)355)log⁡(3)x_{1} = \frac{5 W\left(\frac{\sqrt[5]{12} \log{\left(3 \right)}^{\frac{3}{5}}}{5}\right)}{\log{\left(3 \right)}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(3xlog⁡(3)2−12x5)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2} - \frac{12}{x^{5}}\right) = \infty
lim⁡x→0+(3xlog⁡(3)2−12x5)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2} - \frac{12}{x^{5}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[5W(125log⁡(3)355)log⁡(3),∞)\left[\frac{5 W\left(\frac{\sqrt[5]{12} \log{\left(3 \right)}^{\frac{3}{5}}}{5}\right)}{\log{\left(3 \right)}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,5W(125log⁡(3)355)log⁡(3)]\left(-\infty, \frac{5 W\left(\frac{\sqrt[5]{12} \log{\left(3 \right)}^{\frac{3}{5}}}{5}\right)}{\log{\left(3 \right)}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3x−1x3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(3^{x} - \frac{1}{x^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(3x−1x3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} - \frac{1}{x^{3}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3^x - 1/x^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3x−1x3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3^{x} - \frac{1}{x^{3}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3x−1x3x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{x} - \frac{1}{x^{3}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3x−1x3=1x3+3−x3^{x} - \frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} + 3^{- x}
- No
3x−1x3=−1x3−3−x3^{x} - \frac{1}{x^{3}} = - \frac{1}{x^{3}} - 3^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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