Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ 4x^3-30x^2+48x-19

Gráfico de la función y = 4x^3-30x^2+48x-19

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3       2            
f(x) = 4*x  - 30*x  + 48*x - 19
f(x)=(48x+(4x3−30x2))−19f{\left(x \right)} = \left(48 x + \left(4 x^{3} - 30 x^{2}\right)\right) - 19 
f = 48*x + 4*x^3 - 30*x^2 - 19
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(48x+(4x3−30x2))−19=0\left(48 x + \left(4 x^{3} - 30 x^{2}\right)\right) - 19 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=52+943+317i83+3+317i83x_{1} = \frac{5}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{3 + \frac{3 \sqrt{17} i}{8}}} + \sqrt[3]{3 + \frac{3 \sqrt{17} i}{8}}
Solución numérica
x1=0.608432527763072x_{1} = 0.608432527763072
x2=5.46233509263815x_{2} = 5.46233509263815
x3=1.42923237959877x_{3} = 1.42923237959877
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4*x^3 - 30*x^2 + 48*x - 19.
−19+((4⋅03−30⋅02)+0⋅48)-19 + \left(\left(4 \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 48\right)
Resultado:
f(0)=−19f{\left(0 \right)} = -19
Punto:
(0, -19)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12x2−60x+48=012 x^{2} - 60 x + 48 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=4x_{2} = 4
Signos de extremos en los puntos:
(1, 3)

(4, -51)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4x_{1} = 4
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]∪[4,∞)\left(-\infty, 1\right] \cup \left[4, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1,4]\left[1, 4\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
12(2x−5)=012 \left(2 x - 5\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=52x_{1} = \frac{5}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[52,∞)\left[\frac{5}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,52]\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((48x+(4x3−30x2))−19)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(48 x + \left(4 x^{3} - 30 x^{2}\right)\right) - 19\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((48x+(4x3−30x2))−19)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(48 x + \left(4 x^{3} - 30 x^{2}\right)\right) - 19\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4*x^3 - 30*x^2 + 48*x - 19, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((48x+(4x3−30x2))−19x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(48 x + \left(4 x^{3} - 30 x^{2}\right)\right) - 19}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((48x+(4x3−30x2))−19x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(48 x + \left(4 x^{3} - 30 x^{2}\right)\right) - 19}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(48x+(4x3−30x2))−19=−4x3−30x2−48x−19\left(48 x + \left(4 x^{3} - 30 x^{2}\right)\right) - 19 = - 4 x^{3} - 30 x^{2} - 48 x - 19
- No
(48x+(4x3−30x2))−19=4x3+30x2+48x+19\left(48 x + \left(4 x^{3} - 30 x^{2}\right)\right) - 19 = 4 x^{3} + 30 x^{2} + 48 x + 19
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор