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log(x)^4
Trazado el gráfico de la función/ log(x)^4

Gráfico de la función y = log(x)^4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          4   
f(x) = log (x)
f(x)=log⁡(x)4f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}^{4} 
f = log(x)^4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)4=0\log{\left(x \right)}^{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1.00023915911475x_{1} = 1.00023915911475
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)^4.
log⁡(0)4\log{\left(0 \right)}^{4}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4log⁡(x)3x=0\frac{4 \log{\left(x \right)}^{3}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(3−log⁡(x))log⁡(x)2x2=0\frac{4 \left(3 - \log{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=e3x_{2} = e^{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,e3]\left(-\infty, e^{3}\right]
Convexa en los intervalos
[e3,∞)\left[e^{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(x)4=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(x \right)}^{4} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡(x)4=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(x \right)}^{4} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)^4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)4x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x)4x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)4=log⁡(−x)4\log{\left(x \right)}^{4} = \log{\left(- x \right)}^{4}
- No
log⁡(x)4=−log⁡(−x)4\log{\left(x \right)}^{4} = - \log{\left(- x \right)}^{4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = log(x)^4
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