Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$e^{x} + 1 - e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \log{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ___\ ___ / ___\
| 1 \/ 5 | 1 1 \/ 5 | 1 \/ 5 |
(log|- - + -----|, - - + ----------- + ----- + log|- - + -----|)
\ 2 2 / 2 ___ 2 \ 2 2 /
1 \/ 5
- - + -----
2 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \log{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\log{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \log{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}\right]$$