Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2-x+5
-
(x+1)*(x-2)^2
-
x*(-1-log(x))
-
-sqrt(1-x^2)
-
Expresiones idénticas
- dos lnx/(x-2)- uno
- 2lnx dividir por (x menos 2) menos 1
- dos lnx dividir por (x menos 2) menos uno
- 2lnx/x-2-1
- 2lnx dividir por (x-2)-1
-
Expresiones semejantes
- 2lnx/(x-2)+1
- 2lnx/(x+2)-1
Gráfico de la función y = 2lnx/(x-2)-1
Solución
Ha introducido
[src]
2*log(x)
f(x) = -------- - 1
x - 2
$$f{\left(x \right)} = -1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x - 2}$$
f = -1 + (2*log(x))/(x - 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - 2 W\left(- \frac{1}{2 e}\right)$$
$$x_{2} = - 2 W_{-1}\left(- \frac{1}{2 e}\right)$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.463921905973069$$
$$x_{2} = 5.35669398003332$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - 2 W\left(- \frac{1}{2 e}\right)$$
$$x_{2} = - 2 W_{-1}\left(- \frac{1}{2 e}\right)$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.463921905973069$$
$$x_{2} = 5.35669398003332$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{2}{x \left(x - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{2}{x \left(x - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 2\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 39931.8376131618$$
$$x_{2} = 48878.0440358842$$
$$x_{3} = 37680.8158508515$$
$$x_{4} = 44415.619329713$$
$$x_{5} = 41054.9709207592$$
$$x_{6} = 56644.1060413689$$
$$x_{7} = 46649.306437951$$
$$x_{8} = 45533.1039315341$$
$$x_{9} = 42176.6065378353$$
$$x_{10} = 55537.6895261803$$
$$x_{11} = 51102.163330264$$
$$x_{12} = 30883.9054427158$$
$$x_{13} = 49990.6618154252$$
$$x_{14} = 43296.8041499171$$
$$x_{15} = 33157.5966083773$$
$$x_{16} = 47764.2722655984$$
$$x_{17} = 57749.5929537082$$
$$x_{18} = 52212.5841572977$$
$$x_{19} = 53321.9578958258$$
$$x_{20} = 36552.7830628557$$
$$x_{21} = 54430.3163216977$$
$$x_{22} = 35422.9626334362$$
$$x_{23} = 38807.1423661755$$
$$x_{24} = 32021.8485312361$$
$$x_{25} = 34291.2660279171$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 2\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x - 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 2\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x - 2}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 2\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 39931.8376131618$$
$$x_{2} = 48878.0440358842$$
$$x_{3} = 37680.8158508515$$
$$x_{4} = 44415.619329713$$
$$x_{5} = 41054.9709207592$$
$$x_{6} = 56644.1060413689$$
$$x_{7} = 46649.306437951$$
$$x_{8} = 45533.1039315341$$
$$x_{9} = 42176.6065378353$$
$$x_{10} = 55537.6895261803$$
$$x_{11} = 51102.163330264$$
$$x_{12} = 30883.9054427158$$
$$x_{13} = 49990.6618154252$$
$$x_{14} = 43296.8041499171$$
$$x_{15} = 33157.5966083773$$
$$x_{16} = 47764.2722655984$$
$$x_{17} = 57749.5929537082$$
$$x_{18} = 52212.5841572977$$
$$x_{19} = 53321.9578958258$$
$$x_{20} = 36552.7830628557$$
$$x_{21} = 54430.3163216977$$
$$x_{22} = 35422.9626334362$$
$$x_{23} = 38807.1423661755$$
$$x_{24} = 32021.8485312361$$
$$x_{25} = 34291.2660279171$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 2\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x - 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 2\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x - 2}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x - 2}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x - 2}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x - 2}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x - 2}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*log(x))/(x - 2) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x - 2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x - 2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x - 2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x - 2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x - 2} = -1 + \frac{2 \log{\left(- x \right)}}{- x - 2}$$
- No
$$-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x - 2} = 1 - \frac{2 \log{\left(- x \right)}}{- x - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x - 2} = -1 + \frac{2 \log{\left(- x \right)}}{- x - 2}$$
- No
$$-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x - 2} = 1 - \frac{2 \log{\left(- x \right)}}{- x - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar