Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 12} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 12\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 - \frac{2 \sqrt[3]{108 + 108 \sqrt{3} i}}{3} - \frac{24}{\sqrt[3]{108 + 108 \sqrt{3} i}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 8 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 8 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2\right]$$