Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=3x^3-x
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
x/((x-1)(x-3))
-
Expresiones idénticas
- (nueve +3x)/(dos x^2-x- uno)
- (9 más 3x) dividir por (2x al cuadrado menos x menos 1)
- (nueve más 3x) dividir por (dos x al cuadrado menos x menos uno)
- (9+3x)/(2x2-x-1)
- 9+3x/2x2-x-1
- (9+3x)/(2x²-x-1)
- (9+3x)/(2x en el grado 2-x-1)
- 9+3x/2x^2-x-1
- (9+3x) dividir por (2x^2-x-1)
-
Expresiones semejantes
- (9-3x)/(2x^2-x-1)
- (9+3x)/(2x^2+x-1)
- (9+3x)/(2x^2-x+1)
Gráfico de la función y = (9+3x)/(2x^2-x-1)
Solución
Ha introducido
[src]
9 + 3*x
f(x) = ------------
2
2*x - x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{3 x + 9}{\left(2 x^{2} - x\right) - 1}$$
f = (3*x + 9)/(2*x^2 - x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{3 x + 9}{\left(2 x^{2} - x\right) - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{3 x + 9}{\left(2 x^{2} - x\right) - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 4 x\right) \left(3 x + 9\right)}{\left(\left(2 x^{2} - x\right) - 1\right)^{2}} + \frac{3}{\left(2 x^{2} - x\right) - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 + \sqrt{10}$$
$$x_{2} = - \sqrt{10} - 3$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{10} - 3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -3 + \sqrt{10}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{10} - 3, -3 + \sqrt{10}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{10} - 3\right] \cup \left[-3 + \sqrt{10}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 4 x\right) \left(3 x + 9\right)}{\left(\left(2 x^{2} - x\right) - 1\right)^{2}} + \frac{3}{\left(2 x^{2} - x\right) - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 + \sqrt{10}$$
$$x_{2} = - \sqrt{10} - 3$$
Signos de extremos en los puntos:
____
____ 3*\/ 10
(-3 + \/ 10, -----------------------------)
2
____ / ____\
2 - \/ 10 + 2*\-3 + \/ 10 / ____
____ -3*\/ 10
(-3 - \/ 10, -----------------------------)
2
____ / ____\
2 + \/ 10 + 2*\-3 - \/ 10 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{10} - 3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -3 + \sqrt{10}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{10} - 3, -3 + \sqrt{10}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{10} - 3\right] \cup \left[-3 + \sqrt{10}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{6 \left(4 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{\left(4 x - 1\right)^{2}}{- 2 x^{2} + x + 1} + 2\right) - 1\right)}{\left(- 2 x^{2} + x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \sqrt[3]{5} - 3 - 5^{\frac{2}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -0.5^-}\left(- \frac{6 \left(4 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{\left(4 x - 1\right)^{2}}{- 2 x^{2} + x + 1} + 2\right) - 1\right)}{\left(- 2 x^{2} + x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -0.5^+}\left(- \frac{6 \left(4 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{\left(4 x - 1\right)^{2}}{- 2 x^{2} + x + 1} + 2\right) - 1\right)}{\left(- 2 x^{2} + x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.5$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{6 \left(4 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{\left(4 x - 1\right)^{2}}{- 2 x^{2} + x + 1} + 2\right) - 1\right)}{\left(- 2 x^{2} + x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{6 \left(4 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{\left(4 x - 1\right)^{2}}{- 2 x^{2} + x + 1} + 2\right) - 1\right)}{\left(- 2 x^{2} + x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt[3]{5} - 3 - 5^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt[3]{5} - 3 - 5^{\frac{2}{3}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{6 \left(4 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{\left(4 x - 1\right)^{2}}{- 2 x^{2} + x + 1} + 2\right) - 1\right)}{\left(- 2 x^{2} + x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \sqrt[3]{5} - 3 - 5^{\frac{2}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -0.5^-}\left(- \frac{6 \left(4 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{\left(4 x - 1\right)^{2}}{- 2 x^{2} + x + 1} + 2\right) - 1\right)}{\left(- 2 x^{2} + x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -0.5^+}\left(- \frac{6 \left(4 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{\left(4 x - 1\right)^{2}}{- 2 x^{2} + x + 1} + 2\right) - 1\right)}{\left(- 2 x^{2} + x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.5$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{6 \left(4 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{\left(4 x - 1\right)^{2}}{- 2 x^{2} + x + 1} + 2\right) - 1\right)}{\left(- 2 x^{2} + x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{6 \left(4 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{\left(4 x - 1\right)^{2}}{- 2 x^{2} + x + 1} + 2\right) - 1\right)}{\left(- 2 x^{2} + x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt[3]{5} - 3 - 5^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt[3]{5} - 3 - 5^{\frac{2}{3}}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + 9}{\left(2 x^{2} - x\right) - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 9}{\left(2 x^{2} - x\right) - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + 9}{\left(2 x^{2} - x\right) - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 9}{\left(2 x^{2} - x\right) - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (9 + 3*x)/(2*x^2 - x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + 9}{x \left(\left(2 x^{2} - x\right) - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 9}{x \left(\left(2 x^{2} - x\right) - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + 9}{x \left(\left(2 x^{2} - x\right) - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 9}{x \left(\left(2 x^{2} - x\right) - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{3 x + 9}{\left(2 x^{2} - x\right) - 1} = \frac{9 - 3 x}{2 x^{2} + x - 1}$$
- No
$$\frac{3 x + 9}{\left(2 x^{2} - x\right) - 1} = - \frac{9 - 3 x}{2 x^{2} + x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{3 x + 9}{\left(2 x^{2} - x\right) - 1} = \frac{9 - 3 x}{2 x^{2} + x - 1}$$
- No
$$\frac{3 x + 9}{\left(2 x^{2} - x\right) - 1} = - \frac{9 - 3 x}{2 x^{2} + x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico