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Trazado el gráfico de la función/ (3+(-1)^x)^x/(3+(-1)^(x+1))^(x+1)

Gráfico de la función y = (3+(-1)^x)^x/(3+(-1)^(x+1))^(x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                      x    
           /        x\     
           \3 + (-1) /     
f(x) = --------------------
                      x + 1
       /        x + 1\     
       \3 + (-1)     /
f(x)=((−1)x+3)x((−1)x+1+3)x+1f{\left(x \right)} = \frac{\left(\left(-1\right)^{x} + 3\right)^{x}}{\left(\left(-1\right)^{x + 1} + 3\right)^{x + 1}} 
f = ((-1)^x + 3)^x/((-1)^(x + 1) + 3)^(x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101001000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((−1)x+3)x((−1)x+1+3)x+1=0\frac{\left(\left(-1\right)^{x} + 3\right)^{x}}{\left(\left(-1\right)^{x + 1} + 3\right)^{x + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (3 + (-1)^x)^x/(3 + (-1)^(x + 1))^(x + 1).
((−1)0+3)0((−1)1+3)1\frac{\left(\left(-1\right)^{0} + 3\right)^{0}}{\left(\left(-1\right)^{1} + 3\right)^{1}}
Resultado:
f(0)=12f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}
Punto:
(0, 1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−((−1)x+3)x((−1)x+1+3)−2x−2((−1)x+1+3)x+1((−1)x+1iπ(x+1)(−1)x+1+3+log⁡((−1)x+1+3))+((−1)x+3)x((−1)x+1+3)−x−1((−1)xiπx(−1)x+3+log⁡((−1)x+3))=0- \left(\left(-1\right)^{x} + 3\right)^{x} \left(\left(-1\right)^{x + 1} + 3\right)^{- 2 x - 2} \left(\left(-1\right)^{x + 1} + 3\right)^{x + 1} \left(\frac{\left(-1\right)^{x + 1} i \pi \left(x + 1\right)}{\left(-1\right)^{x + 1} + 3} + \log{\left(\left(-1\right)^{x + 1} + 3 \right)}\right) + \left(\left(-1\right)^{x} + 3\right)^{x} \left(\left(-1\right)^{x + 1} + 3\right)^{- x - 1} \left(\frac{\left(-1\right)^{x} i \pi x}{\left(-1\right)^{x} + 3} + \log{\left(\left(-1\right)^{x} + 3 \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡x→−∞(((−1)x+3)x((−1)x+1+3)x+1)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(-1\right)^{x} + 3\right)^{x}}{\left(\left(-1\right)^{x + 1} + 3\right)^{x + 1}}\right)
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
lim⁡x→∞(((−1)x+3)x((−1)x+1+3)x+1)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(-1\right)^{x} + 3\right)^{x}}{\left(\left(-1\right)^{x + 1} + 3\right)^{x + 1}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3 + (-1)^x)^x/(3 + (-1)^(x + 1))^(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡x→−∞(((−1)x+3)x((−1)x+1+3)−x−1x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(-1\right)^{x} + 3\right)^{x} \left(\left(-1\right)^{x + 1} + 3\right)^{- x - 1}}{x}\right)
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
lim⁡x→∞(((−1)x+3)x((−1)x+1+3)−x−1x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(-1\right)^{x} + 3\right)^{x} \left(\left(-1\right)^{x + 1} + 3\right)^{- x - 1}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((−1)x+3)x((−1)x+1+3)x+1=(3+(−1)−x)−x((−1)1−x+3)x−1\frac{\left(\left(-1\right)^{x} + 3\right)^{x}}{\left(\left(-1\right)^{x + 1} + 3\right)^{x + 1}} = \left(3 + \left(-1\right)^{- x}\right)^{- x} \left(\left(-1\right)^{1 - x} + 3\right)^{x - 1}
- No
((−1)x+3)x((−1)x+1+3)x+1=−(3+(−1)−x)−x((−1)1−x+3)x−1\frac{\left(\left(-1\right)^{x} + 3\right)^{x}}{\left(\left(-1\right)^{x + 1} + 3\right)^{x + 1}} = - \left(3 + \left(-1\right)^{- x}\right)^{- x} \left(\left(-1\right)^{1 - x} + 3\right)^{x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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