Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x+27/x^3
-
(x^2-8)/(x-3)
-
x-2+4/(x-2)
-
x^2-9*x+14
-
Expresiones idénticas
- (cinco (x- cinco)^ tres +(x- cinco)^ dos - tres)/((x- cinco)^ dos - tres)
- (5(x menos 5) al cubo más (x menos 5) al cuadrado menos 3) dividir por ((x menos 5) al cuadrado menos 3)
- (cinco (x menos cinco) en el grado tres más (x menos cinco) en el grado dos menos tres) dividir por ((x menos cinco) en el grado dos menos tres)
- (5(x-5)3+(x-5)2-3)/((x-5)2-3)
- 5x-53+x-52-3/x-52-3
- (5(x-5)³+(x-5)²-3)/((x-5)²-3)
- (5(x-5) en el grado 3+(x-5) en el grado 2-3)/((x-5) en el grado 2-3)
- 5x-5^3+x-5^2-3/x-5^2-3
- (5(x-5)^3+(x-5)^2-3) dividir por ((x-5)^2-3)
-
Expresiones semejantes
- (5(x+5)^3+(x-5)^2-3)/((x-5)^2-3)
- (5(x-5)^3+(x+5)^2-3)/((x-5)^2-3)
- (5(x-5)^3+(x-5)^2-3)/((x+5)^2-3)
- (5(x-5)^3-(x-5)^2-3)/((x-5)^2-3)
- (5(x-5)^3+(x-5)^2-3)/((x-5)^2+3)
- (5(x-5)^3+(x-5)^2+3)/((x-5)^2-3)
Gráfico de la función y = (5(x-5)^3+(x-5)^2-3)/((x-5)^2-3)
Solución
Ha introducido
[src]
3 2
5*(x - 5) + (x - 5) - 3
f(x) = -------------------------
2
(x - 5) - 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}$$
f = (5*(x - 5)^3 + (x - 5)^2 - 3)/((x - 5)^2 - 3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 3.26794919243112$$
$$x_{2} = 6.73205080756888$$
$$x_{1} = 3.26794919243112$$
$$x_{2} = 6.73205080756888$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{225 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2021}}{150} + \frac{2023}{6750}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2021}}{150} + \frac{2023}{6750}} + \frac{74}{15}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 5.78175937313016$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{225 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2021}}{150} + \frac{2023}{6750}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2021}}{150} + \frac{2023}{6750}} + \frac{74}{15}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 5.78175937313016$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(10 - 2 x\right) \left(\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3\right)}{\left(\left(x - 5\right)^{2} - 3\right)^{2}} + \frac{2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = 8$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 8$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right] \cup \left[8, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[2, 8\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(10 - 2 x\right) \left(\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3\right)}{\left(\left(x - 5\right)^{2} - 3\right)^{2}} + \frac{2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = 8$$
Signos de extremos en los puntos:
(2, -43/2)
(5, 1)
(8, 47/2)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 8$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right] \cup \left[8, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[2, 8\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(15 x - \frac{2 \left(x - 5\right) \left(2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 1\right) \left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 74\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 5$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3.26794919243112$$
$$x_{2} = 6.73205080756888$$
$$\lim_{x \to 3.26794919243112^-}\left(\frac{2 \left(15 x - \frac{2 \left(x - 5\right) \left(2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 1\right) \left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 74\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = 7.11954869400626 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to 3.26794919243112^+}\left(\frac{2 \left(15 x - \frac{2 \left(x - 5\right) \left(2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 1\right) \left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 74\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = 7.11954869400626 \cdot 10^{48}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 6.73205080756888^-}\left(\frac{2 \left(15 x - \frac{2 \left(x - 5\right) \left(2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 1\right) \left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 74\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = 2.63686988666899 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to 6.73205080756888^+}\left(\frac{2 \left(15 x - \frac{2 \left(x - 5\right) \left(2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 1\right) \left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 74\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = 2.63686988666899 \cdot 10^{47}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 5\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[5, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(15 x - \frac{2 \left(x - 5\right) \left(2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 1\right) \left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 74\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 5$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3.26794919243112$$
$$x_{2} = 6.73205080756888$$
$$\lim_{x \to 3.26794919243112^-}\left(\frac{2 \left(15 x - \frac{2 \left(x - 5\right) \left(2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 1\right) \left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 74\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = 7.11954869400626 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to 3.26794919243112^+}\left(\frac{2 \left(15 x - \frac{2 \left(x - 5\right) \left(2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 1\right) \left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 74\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = 7.11954869400626 \cdot 10^{48}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 6.73205080756888^-}\left(\frac{2 \left(15 x - \frac{2 \left(x - 5\right) \left(2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 1\right) \left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 74\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = 2.63686988666899 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to 6.73205080756888^+}\left(\frac{2 \left(15 x - \frac{2 \left(x - 5\right) \left(2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 1\right) \left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 74\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = 2.63686988666899 \cdot 10^{47}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 5\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[5, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 3.26794919243112$$
$$x_{2} = 6.73205080756888$$
$$x_{1} = 3.26794919243112$$
$$x_{2} = 6.73205080756888$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (5*(x - 5)^3 + (x - 5)^2 - 3)/((x - 5)^2 - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{x \left(\left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}\right) = 5$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 5 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{x \left(\left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}\right) = 5$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 5 x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{x \left(\left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}\right) = 5$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 5 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{x \left(\left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}\right) = 5$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 5 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} = \frac{5 \left(- x - 5\right)^{3} + \left(- x - 5\right)^{2} - 3}{\left(- x - 5\right)^{2} - 3}$$
- No
$$\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} = - \frac{5 \left(- x - 5\right)^{3} + \left(- x - 5\right)^{2} - 3}{\left(- x - 5\right)^{2} - 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} = \frac{5 \left(- x - 5\right)^{3} + \left(- x - 5\right)^{2} - 3}{\left(- x - 5\right)^{2} - 3}$$
- No
$$\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} = - \frac{5 \left(- x - 5\right)^{3} + \left(- x - 5\right)^{2} - 3}{\left(- x - 5\right)^{2} - 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico