Sr Examen

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(5(x-5)^3+(x-5)^2-3)/((x-5)^2-3)
Trazado el gráfico de la función/ (5(x-5)^3+(x-5)^2-3)/((x-5)^2-3)

Gráfico de la función y = (5(x-5)^3+(x-5)^2-3)/((x-5)^2-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                3          2    
       5*(x - 5)  + (x - 5)  - 3
f(x) = -------------------------
                     2          
              (x - 5)  - 3
f(x)=(5(x−5)3+(x−5)2)−3(x−5)2−3f{\left(x \right)} = \frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} 
f = (5*(x - 5)^3 + (x - 5)^2 - 3)/((x - 5)^2 - 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=3.26794919243112x_{1} = 3.26794919243112
x2=6.73205080756888x_{2} = 6.73205080756888
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(5(x−5)3+(x−5)2)−3(x−5)2−3=0\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=12252021150+202367503+2021150+202367503+7415x_{1} = \frac{1}{225 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2021}}{150} + \frac{2023}{6750}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2021}}{150} + \frac{2023}{6750}} + \frac{74}{15}
Solución numérica
x1=5.78175937313016x_{1} = 5.78175937313016
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (5*(x - 5)^3 + (x - 5)^2 - 3)/((x - 5)^2 - 3).
(5(−5)3+(−5)2)−3−3+(−5)2\frac{\left(5 \left(-5\right)^{3} + \left(-5\right)^{2}\right) - 3}{-3 + \left(-5\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=−60322f{\left(0 \right)} = - \frac{603}{22}
Punto:
(0, -603/22)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(10−2x)((5(x−5)3+(x−5)2)−3)((x−5)2−3)2+2x+15(x−5)2−10(x−5)2−3=0\frac{\left(10 - 2 x\right) \left(\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3\right)}{\left(\left(x - 5\right)^{2} - 3\right)^{2}} + \frac{2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
x2=5x_{2} = 5
x3=8x_{3} = 8
Signos de extremos en los puntos:
(2, -43/2)

(5, 1)

(8, 47/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=8x_{1} = 8
Puntos máximos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Decrece en los intervalos
(−∞,2]∪[8,∞)\left(-\infty, 2\right] \cup \left[8, \infty\right)
Crece en los intervalos
[2,8]\left[2, 8\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(15x−2(x−5)(2x+15(x−5)2−10)(x−5)2−3+(4(x−5)2(x−5)2−3−1)(5(x−5)3+(x−5)2−3)(x−5)2−3−74)(x−5)2−3=0\frac{2 \left(15 x - \frac{2 \left(x - 5\right) \left(2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 1\right) \left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 74\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5x_{1} = 5
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=3.26794919243112x_{1} = 3.26794919243112
x2=6.73205080756888x_{2} = 6.73205080756888

lim⁡x→3.26794919243112−(2(15x−2(x−5)(2x+15(x−5)2−10)(x−5)2−3+(4(x−5)2(x−5)2−3−1)(5(x−5)3+(x−5)2−3)(x−5)2−3−74)(x−5)2−3)=7.11954869400626⋅1048\lim_{x \to 3.26794919243112^-}\left(\frac{2 \left(15 x - \frac{2 \left(x - 5\right) \left(2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 1\right) \left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 74\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = 7.11954869400626 \cdot 10^{48}
lim⁡x→3.26794919243112+(2(15x−2(x−5)(2x+15(x−5)2−10)(x−5)2−3+(4(x−5)2(x−5)2−3−1)(5(x−5)3+(x−5)2−3)(x−5)2−3−74)(x−5)2−3)=7.11954869400626⋅1048\lim_{x \to 3.26794919243112^+}\left(\frac{2 \left(15 x - \frac{2 \left(x - 5\right) \left(2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 1\right) \left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 74\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = 7.11954869400626 \cdot 10^{48}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
lim⁡x→6.73205080756888−(2(15x−2(x−5)(2x+15(x−5)2−10)(x−5)2−3+(4(x−5)2(x−5)2−3−1)(5(x−5)3+(x−5)2−3)(x−5)2−3−74)(x−5)2−3)=2.63686988666899⋅1047\lim_{x \to 6.73205080756888^-}\left(\frac{2 \left(15 x - \frac{2 \left(x - 5\right) \left(2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 1\right) \left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 74\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = 2.63686988666899 \cdot 10^{47}
lim⁡x→6.73205080756888+(2(15x−2(x−5)(2x+15(x−5)2−10)(x−5)2−3+(4(x−5)2(x−5)2−3−1)(5(x−5)3+(x−5)2−3)(x−5)2−3−74)(x−5)2−3)=2.63686988666899⋅1047\lim_{x \to 6.73205080756888^+}\left(\frac{2 \left(15 x - \frac{2 \left(x - 5\right) \left(2 x + 15 \left(x - 5\right)^{2} - 10\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} + \frac{\left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 1\right) \left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} - 74\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = 2.63686988666899 \cdot 10^{47}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,5]\left(-\infty, 5\right]
Convexa en los intervalos
[5,∞)\left[5, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=3.26794919243112x_{1} = 3.26794919243112
x2=6.73205080756888x_{2} = 6.73205080756888
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((5(x−5)3+(x−5)2)−3(x−5)2−3)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((5(x−5)3+(x−5)2)−3(x−5)2−3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{\left(x - 5\right)^{2} - 3}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (5*(x - 5)^3 + (x - 5)^2 - 3)/((x - 5)^2 - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((5(x−5)3+(x−5)2)−3x((x−5)2−3))=5\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{x \left(\left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}\right) = 5
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=5xy = 5 x
lim⁡x→∞((5(x−5)3+(x−5)2)−3x((x−5)2−3))=5\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{x \left(\left(x - 5\right)^{2} - 3\right)}\right) = 5
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=5xy = 5 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(5(x−5)3+(x−5)2)−3(x−5)2−3=5(−x−5)3+(−x−5)2−3(−x−5)2−3\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} = \frac{5 \left(- x - 5\right)^{3} + \left(- x - 5\right)^{2} - 3}{\left(- x - 5\right)^{2} - 3}
- No
(5(x−5)3+(x−5)2)−3(x−5)2−3=−5(−x−5)3+(−x−5)2−3(−x−5)2−3\frac{\left(5 \left(x - 5\right)^{3} + \left(x - 5\right)^{2}\right) - 3}{\left(x - 5\right)^{2} - 3} = - \frac{5 \left(- x - 5\right)^{3} + \left(- x - 5\right)^{2} - 3}{\left(- x - 5\right)^{2} - 3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (5(x-5)^3+(x-5)^2-3)/((x-5)^2-3)
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