Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
-
Expresiones idénticas
- cos2x-sinx
- coseno de 2x menos seno de x
-
Expresiones semejantes
- cos2x+sinx
- 2cos(2x)-sin(x)
Gráfico de la función y = cos2x-sinx
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = cos(2*x) - sin(x)
$$f{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
f = -sin(x) + cos(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -95.8185760435073$$
$$x_{2} = -12.0427718387609$$
$$x_{3} = 61.2610569380464$$
$$x_{4} = 44.5058959258554$$
$$x_{5} = 98.9601683847854$$
$$x_{6} = -32.98672341235$$
$$x_{7} = -22.5147473507269$$
$$x_{8} = 46.6002910282486$$
$$x_{9} = -20.4203520418601$$
$$x_{10} = 92.6769826185806$$
$$x_{11} = 34.0339204138894$$
$$x_{12} = 10.9955740992967$$
$$x_{13} = -95.8185758681551$$
$$x_{14} = 2.61799387799149$$
$$x_{15} = -5.75958653158129$$
$$x_{16} = -41.3643032722656$$
$$x_{17} = 42.4115007297604$$
$$x_{18} = 52.8834763354282$$
$$x_{19} = 92.6769830871924$$
$$x_{20} = 90.5825881785057$$
$$x_{21} = -18.3259571459405$$
$$x_{22} = 71.733032256967$$
$$x_{23} = -60.2138591938044$$
$$x_{24} = -70.6858344924983$$
$$x_{25} = -32.9867230405965$$
$$x_{26} = 31.9395253114962$$
$$x_{27} = 78.0162175641465$$
$$x_{28} = 84.2994028713261$$
$$x_{29} = -93.7241808320955$$
$$x_{30} = -1.57079642893127$$
$$x_{31} = -3.66519142918809$$
$$x_{32} = 36.1283159916529$$
$$x_{33} = -26.7035373476123$$
$$x_{34} = -66.497044500984$$
$$x_{35} = -76.9690201780717$$
$$x_{36} = -51.8362786898924$$
$$x_{37} = -83.2522055292846$$
$$x_{38} = -56.025068989018$$
$$x_{39} = -62.3082542961976$$
$$x_{40} = -87.4409955249159$$
$$x_{41} = -85.3466004225227$$
$$x_{42} = 27.7507351067098$$
$$x_{43} = 75.9218224617533$$
$$x_{44} = -49.7418836818384$$
$$x_{45} = -24.60914245312$$
$$x_{46} = -100.007366139275$$
$$x_{47} = -9.94837673636768$$
$$x_{48} = -97.9129710368819$$
$$x_{49} = 48.6946859325274$$
$$x_{50} = -45.5530935873709$$
$$x_{51} = -68.5914396033772$$
$$x_{52} = 38.2227106186758$$
$$x_{53} = 69.6386371545737$$
$$x_{54} = -35.081117965086$$
$$x_{55} = -7.85398149924071$$
$$x_{56} = 10.995574056153$$
$$x_{57} = 0.523598775598299$$
$$x_{58} = -43.4586983746588$$
$$x_{59} = 82.2050077689329$$
$$x_{60} = -79.0634151153431$$
$$x_{61} = 96.8657734856853$$
$$x_{62} = 29.8451303193672$$
$$x_{63} = 25.6563400043166$$
$$x_{64} = -89.5353907455655$$
$$x_{65} = -53.9306738866248$$
$$x_{66} = 8.90117918517108$$
$$x_{67} = -58.1194639999037$$
$$x_{68} = 73.8274274783337$$
$$x_{69} = 19.3731546971371$$
$$x_{70} = -64.4026491963026$$
$$x_{71} = -91.6297857297023$$
$$x_{72} = 54.9778712411975$$
$$x_{73} = 63.3554518473942$$
$$x_{74} = 80.1106131458253$$
$$x_{75} = 23.5619451122289$$
$$x_{76} = -16.2315620435473$$
$$x_{77} = 86.393797888715$$
$$x_{78} = 40.317105721069$$
$$x_{79} = 17.2787597959772$$
$$x_{80} = 4.71238877821279$$
$$x_{81} = -47.6474885794452$$
$$x_{82} = 94.7713783832921$$
$$x_{83} = -76.9690198122422$$
$$x_{84} = -39.2699083757319$$
$$x_{85} = 88.4881930761125$$
$$x_{86} = 67.5442422659503$$
$$x_{87} = -76.9690204511548$$
$$x_{88} = -14.1371668400256$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -95.8185760435073$$
$$x_{2} = -12.0427718387609$$
$$x_{3} = 61.2610569380464$$
$$x_{4} = 44.5058959258554$$
$$x_{5} = 98.9601683847854$$
$$x_{6} = -32.98672341235$$
$$x_{7} = -22.5147473507269$$
$$x_{8} = 46.6002910282486$$
$$x_{9} = -20.4203520418601$$
$$x_{10} = 92.6769826185806$$
$$x_{11} = 34.0339204138894$$
$$x_{12} = 10.9955740992967$$
$$x_{13} = -95.8185758681551$$
$$x_{14} = 2.61799387799149$$
$$x_{15} = -5.75958653158129$$
$$x_{16} = -41.3643032722656$$
$$x_{17} = 42.4115007297604$$
$$x_{18} = 52.8834763354282$$
$$x_{19} = 92.6769830871924$$
$$x_{20} = 90.5825881785057$$
$$x_{21} = -18.3259571459405$$
$$x_{22} = 71.733032256967$$
$$x_{23} = -60.2138591938044$$
$$x_{24} = -70.6858344924983$$
$$x_{25} = -32.9867230405965$$
$$x_{26} = 31.9395253114962$$
$$x_{27} = 78.0162175641465$$
$$x_{28} = 84.2994028713261$$
$$x_{29} = -93.7241808320955$$
$$x_{30} = -1.57079642893127$$
$$x_{31} = -3.66519142918809$$
$$x_{32} = 36.1283159916529$$
$$x_{33} = -26.7035373476123$$
$$x_{34} = -66.497044500984$$
$$x_{35} = -76.9690201780717$$
$$x_{36} = -51.8362786898924$$
$$x_{37} = -83.2522055292846$$
$$x_{38} = -56.025068989018$$
$$x_{39} = -62.3082542961976$$
$$x_{40} = -87.4409955249159$$
$$x_{41} = -85.3466004225227$$
$$x_{42} = 27.7507351067098$$
$$x_{43} = 75.9218224617533$$
$$x_{44} = -49.7418836818384$$
$$x_{45} = -24.60914245312$$
$$x_{46} = -100.007366139275$$
$$x_{47} = -9.94837673636768$$
$$x_{48} = -97.9129710368819$$
$$x_{49} = 48.6946859325274$$
$$x_{50} = -45.5530935873709$$
$$x_{51} = -68.5914396033772$$
$$x_{52} = 38.2227106186758$$
$$x_{53} = 69.6386371545737$$
$$x_{54} = -35.081117965086$$
$$x_{55} = -7.85398149924071$$
$$x_{56} = 10.995574056153$$
$$x_{57} = 0.523598775598299$$
$$x_{58} = -43.4586983746588$$
$$x_{59} = 82.2050077689329$$
$$x_{60} = -79.0634151153431$$
$$x_{61} = 96.8657734856853$$
$$x_{62} = 29.8451303193672$$
$$x_{63} = 25.6563400043166$$
$$x_{64} = -89.5353907455655$$
$$x_{65} = -53.9306738866248$$
$$x_{66} = 8.90117918517108$$
$$x_{67} = -58.1194639999037$$
$$x_{68} = 73.8274274783337$$
$$x_{69} = 19.3731546971371$$
$$x_{70} = -64.4026491963026$$
$$x_{71} = -91.6297857297023$$
$$x_{72} = 54.9778712411975$$
$$x_{73} = 63.3554518473942$$
$$x_{74} = 80.1106131458253$$
$$x_{75} = 23.5619451122289$$
$$x_{76} = -16.2315620435473$$
$$x_{77} = 86.393797888715$$
$$x_{78} = 40.317105721069$$
$$x_{79} = 17.2787597959772$$
$$x_{80} = 4.71238877821279$$
$$x_{81} = -47.6474885794452$$
$$x_{82} = 94.7713783832921$$
$$x_{83} = -76.9690198122422$$
$$x_{84} = -39.2699083757319$$
$$x_{85} = 88.4881930761125$$
$$x_{86} = 67.5442422659503$$
$$x_{87} = -76.9690204511548$$
$$x_{88} = -14.1371668400256$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}$$
$$x_{2} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
-pi (----, 0) 2
pi (--, -2) 2
/ ____\ / / ____\\ / / ____\\
| I \/ 15 | | | I \/ 15 || | | I \/ 15 ||
(-I*log|- - - ------|, cos|2*I*log|- - - ------|| + sin|I*log|- - - ------||)
\ 4 4 / \ \ 4 4 // \ \ 4 4 // / ____\ / / ____\\ / / ____\\
| I \/ 15 | | | I \/ 15 || | | I \/ 15 ||
(-I*log|- - + ------|, cos|2*I*log|- - + ------|| + sin|I*log|- - + ------||)
\ 4 4 / \ \ 4 4 // \ \ 4 4 // Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}$$
$$x_{2} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\sin{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{16} - \frac{i \left(1 + \sqrt{129}\right)}{16} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} - \frac{i \left(1 - \sqrt{129}\right)}{16} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} - \frac{i \left(1 - \sqrt{129}\right)}{16} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{16} - \frac{\sqrt{129} i}{16} - \frac{i}{16} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{129} - 1\right)}{2 \sqrt{63 - \sqrt{129}}} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{129} - 1\right)}{2 \sqrt{63 - \sqrt{129}}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{129}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{129} + 63}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{129} - 1\right)}{2 \sqrt{63 - \sqrt{129}}} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\sin{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{16} - \frac{i \left(1 + \sqrt{129}\right)}{16} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} - \frac{i \left(1 - \sqrt{129}\right)}{16} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} - \frac{i \left(1 - \sqrt{129}\right)}{16} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{16} - \frac{\sqrt{129} i}{16} - \frac{i}{16} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{129} - 1\right)}{2 \sqrt{63 - \sqrt{129}}} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{129} - 1\right)}{2 \sqrt{63 - \sqrt{129}}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \sqrt{129}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{129} + 63}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \left(- \sqrt{129} - 1\right)}{2 \sqrt{63 - \sqrt{129}}} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*x) - sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar