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Trazado el gráfico de la función/ -5x^3-2sin(5x)+(4)/(\root5(x^(6)))+3^x

Gráfico de la función y = -5x^3-2sin(5x)+(4)/(\root5(x^(6)))+3^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            3                   4       x
f(x) = - 5*x  - 2*sin(5*x) + ------- + 3 
                                ____     
                             5 /  6      
                             \/  x
f(x)=3x+((−5x3−2sin⁡(5x))+4x65)f{\left(x \right)} = 3^{x} + \left(\left(- 5 x^{3} - 2 \sin{\left(5 x \right)}\right) + \frac{4}{\sqrt[5]{x^{6}}}\right) 
f = 3^x - 5*x^3 - 2*sin(5*x) + 4/(x^6)^(1/5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50000100000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3x+((−5x3−2sin⁡(5x))+4x65)=03^{x} + \left(\left(- 5 x^{3} - 2 \sin{\left(5 x \right)}\right) + \frac{4}{\sqrt[5]{x^{6}}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.16170083971683x_{1} = 1.16170083971683
x2=6.63235096349322x_{2} = 6.63235096349322
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -5*x^3 - 2*sin(5*x) + 4/(x^6)^(1/5) + 3^x.
((−5⋅03−2sin⁡(0⋅5))+4065)+30\left(\left(- 5 \cdot 0^{3} - 2 \sin{\left(0 \cdot 5 \right)}\right) + \frac{4}{\sqrt[5]{0^{6}}}\right) + 3^{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3xlog⁡(3)−15x2−10cos⁡(5x)−245x∣x∣65=03^{x} \log{\left(3 \right)} - 15 x^{2} - 10 \cos{\left(5 x \right)} - \frac{24}{5 x \left|{x}\right|^{\frac{6}{5}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5.4576825946504x_{1} = 5.4576825946504
x2=−0.860334392428882x_{2} = -0.860334392428882
Signos de extremos en los puntos:
(5.4576825946504, -412.197475081477)

(-0.8603343924288815, 6.53029854224842)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5.4576825946504x_{1} = 5.4576825946504
x2=−0.860334392428882x_{2} = -0.860334392428882
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[5.4576825946504,∞)\left[5.4576825946504, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−0.860334392428882]\left(-\infty, -0.860334392428882\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3xlog⁡(3)2−30x+50sin⁡(5x)+144sign⁡(x)25x∣x∣115+245x2∣x∣65=03^{x} \log{\left(3 \right)}^{2} - 30 x + 50 \sin{\left(5 x \right)} + \frac{144 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{25 x \left|{x}\right|^{\frac{11}{5}}} + \frac{24}{5 x^{2} \left|{x}\right|^{\frac{6}{5}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1.69225474315549x_{1} = 1.69225474315549
x2=−1.52554359071116x_{2} = -1.52554359071116
x3=0.693115083138974x_{3} = 0.693115083138974
x4=3.89622941566006x_{4} = 3.89622941566006
x5=1.39957681346566x_{5} = 1.39957681346566
x6=−1.57682712977933x_{6} = -1.57682712977933
x7=1.39957681346566x_{7} = 1.39957681346566
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(3xlog⁡(3)2−30x+50sin⁡(5x)+144sign⁡(x)25x∣x∣115+245x2∣x∣65)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2} - 30 x + 50 \sin{\left(5 x \right)} + \frac{144 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{25 x \left|{x}\right|^{\frac{11}{5}}} + \frac{24}{5 x^{2} \left|{x}\right|^{\frac{6}{5}}}\right) = \infty
lim⁡x→0+(3xlog⁡(3)2−30x+50sin⁡(5x)+144sign⁡(x)25x∣x∣115+245x2∣x∣65)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2} - 30 x + 50 \sin{\left(5 x \right)} + \frac{144 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{25 x \left|{x}\right|^{\frac{11}{5}}} + \frac{24}{5 x^{2} \left|{x}\right|^{\frac{6}{5}}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3.89622941566006,∞)\left[3.89622941566006, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−1.52554359071116]\left(-\infty, -1.52554359071116\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3x+((−5x3−2sin⁡(5x))+4x65))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(3^{x} + \left(\left(- 5 x^{3} - 2 \sin{\left(5 x \right)}\right) + \frac{4}{\sqrt[5]{x^{6}}}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(3x+((−5x3−2sin⁡(5x))+4x65))=∞\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} + \left(\left(- 5 x^{3} - 2 \sin{\left(5 x \right)}\right) + \frac{4}{\sqrt[5]{x^{6}}}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -5*x^3 - 2*sin(5*x) + 4/(x^6)^(1/5) + 3^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3x+((−5x3−2sin⁡(5x))+4x65)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3^{x} + \left(\left(- 5 x^{3} - 2 \sin{\left(5 x \right)}\right) + \frac{4}{\sqrt[5]{x^{6}}}\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(3x+((−5x3−2sin⁡(5x))+4x65)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{x} + \left(\left(- 5 x^{3} - 2 \sin{\left(5 x \right)}\right) + \frac{4}{\sqrt[5]{x^{6}}}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3x+((−5x3−2sin⁡(5x))+4x65)=5x3+2sin⁡(5x)+4∣x∣65+3−x3^{x} + \left(\left(- 5 x^{3} - 2 \sin{\left(5 x \right)}\right) + \frac{4}{\sqrt[5]{x^{6}}}\right) = 5 x^{3} + 2 \sin{\left(5 x \right)} + \frac{4}{\left|{x}\right|^{\frac{6}{5}}} + 3^{- x}
- No
3x+((−5x3−2sin⁡(5x))+4x65)=−5x3−2sin⁡(5x)−4∣x∣65−3−x3^{x} + \left(\left(- 5 x^{3} - 2 \sin{\left(5 x \right)}\right) + \frac{4}{\sqrt[5]{x^{6}}}\right) = - 5 x^{3} - 2 \sin{\left(5 x \right)} - \frac{4}{\left|{x}\right|^{\frac{6}{5}}} - 3^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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