Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
x-x^3
x^4-2x^2
1-x^3
x^2/(x-3)
Gráfico de la función y = 3x^2-x^5
Solución
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- x^{5} + 3 x^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \sqrt[3]{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.44224957030741$$
$$x_{2} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- x^{5} + 3 x^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \sqrt[3]{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.44224957030741$$
$$x_{2} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 5 x^{4} + 6 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{5^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{6}}{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{5^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{6}}{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \frac{5^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{6}}{5}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{5^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{6}}{5}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 5 x^{4} + 6 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{5^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{6}}{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
2/3 3 ___ 3 ___ 2/3
5 *\/ 6 9*\/ 5 *6
(----------, ------------)
5 25 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{5^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{6}}{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \frac{5^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{6}}{5}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{5^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{6}}{5}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 - 10 x^{3}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{10^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{10}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{10^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{10}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{10^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{10}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 - 10 x^{3}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{10^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{10}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{10^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{10}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{10^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{10}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{5} + 3 x^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{5} + 3 x^{2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{5} + 3 x^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{5} + 3 x^{2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*x^2 - x^5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{5} + 3 x^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{5} + 3 x^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{5} + 3 x^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{5} + 3 x^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- x^{5} + 3 x^{2} = x^{5} + 3 x^{2}$$
- No
$$- x^{5} + 3 x^{2} = - x^{5} - 3 x^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$- x^{5} + 3 x^{2} = x^{5} + 3 x^{2}$$
- No
$$- x^{5} + 3 x^{2} = - x^{5} - 3 x^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar