Sr Examen

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Gráfico de la función y = |x|*x+3*|x|+5x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = |x|*x + 3*|x| + 5*x
$$f{\left(x \right)} = 5 x + \left(x \left|{x}\right| + 3 \left|{x}\right|\right)$$
f = 5*x + x*|x| + 3*|x|
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$5 x + \left(x \left|{x}\right| + 3 \left|{x}\right|\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x|*x + 3*|x| + 5*x.
$$\left(0 \left|{0}\right| + 3 \left|{0}\right|\right) + 0 \cdot 5$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x \operatorname{sign}{\left(x \right)} + \left|{x}\right| + 3 \operatorname{sign}{\left(x \right)} + 5 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(x \delta\left(x\right) + 3 \delta\left(x\right) + \operatorname{sign}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(5 x + \left(x \left|{x}\right| + 3 \left|{x}\right|\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x + \left(x \left|{x}\right| + 3 \left|{x}\right|\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x|*x + 3*|x| + 5*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x + \left(x \left|{x}\right| + 3 \left|{x}\right|\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x + \left(x \left|{x}\right| + 3 \left|{x}\right|\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$5 x + \left(x \left|{x}\right| + 3 \left|{x}\right|\right) = - x \left|{x}\right| - 5 x + 3 \left|{x}\right|$$
- No
$$5 x + \left(x \left|{x}\right| + 3 \left|{x}\right|\right) = x \left|{x}\right| + 5 x - 3 \left|{x}\right|$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar