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(x^2-2x-3)/(x+1)^3
Trazado el gráfico de la función/ (x^2-2x-3)/(x+1)^3

Gráfico de la función y = (x^2-2x-3)/(x+1)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2          
       x  - 2*x - 3
f(x) = ------------
                3  
         (x + 1)
f(x)=(x2−2x)−3(x+1)3f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}{\left(x + 1\right)^{3}} 
f = (x^2 - 2*x - 3)/(x + 1)^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−2x)−3(x+1)3=0\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}{\left(x + 1\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3x_{1} = 3
Solución numérica
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 2*x - 3)/(x + 1)^3.
−3+(02−0)13\frac{-3 + \left(0^{2} - 0\right)}{1^{3}}
Resultado:
f(0)=−3f{\left(0 \right)} = -3
Punto:
(0, -3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−2(x+1)3−3((x2−2x)−3)(x+1)4=0\frac{2 x - 2}{\left(x + 1\right)^{3}} - \frac{3 \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=7x_{1} = 7
Signos de extremos en los puntos:
(7, 1/16)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=7x_{1} = 7
Decrece en los intervalos
(−∞,7]\left(-\infty, 7\right]
Crece en los intervalos
[7,∞)\left[7, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−6(x−1)x+1+1−6(−x2+2x+3)(x+1)2)(x+1)3=0\frac{2 \left(- \frac{6 \left(x - 1\right)}{x + 1} + 1 - \frac{6 \left(- x^{2} + 2 x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=11x_{1} = 11
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(2(−6(x−1)x+1+1−6(−x2+2x+3)(x+1)2)(x+1)3)=−∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 \left(x - 1\right)}{x + 1} + 1 - \frac{6 \left(- x^{2} + 2 x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→−1+(2(−6(x−1)x+1+1−6(−x2+2x+3)(x+1)2)(x+1)3)=−∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 \left(x - 1\right)}{x + 1} + 1 - \frac{6 \left(- x^{2} + 2 x + 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = -\infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[11,∞)\left[11, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,11]\left(-\infty, 11\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−2x)−3(x+1)3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞((x2−2x)−3(x+1)3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 2*x - 3)/(x + 1)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−2x)−3x(x+1)3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}{x \left(x + 1\right)^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x2−2x)−3x(x+1)3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}{x \left(x + 1\right)^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−2x)−3(x+1)3=x2+2x−3(1−x)3\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}{\left(x + 1\right)^{3}} = \frac{x^{2} + 2 x - 3}{\left(1 - x\right)^{3}}
- No
(x2−2x)−3(x+1)3=−x2+2x−3(1−x)3\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}{\left(x + 1\right)^{3}} = - \frac{x^{2} + 2 x - 3}{\left(1 - x\right)^{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2-2x-3)/(x+1)^3
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