Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos - cuatro)*(x- uno)/x- dos
- (x al cuadrado menos 4) multiplicar por (x menos 1) dividir por x menos 2
- (x en el grado dos menos cuatro) multiplicar por (x menos uno) dividir por x menos dos
- (x2-4)*(x-1)/x-2
- x2-4*x-1/x-2
- (x²-4)*(x-1)/x-2
- (x en el grado 2-4)*(x-1)/x-2
- (x^2-4)(x-1)/x-2
- (x2-4)(x-1)/x-2
- x2-4x-1/x-2
- x^2-4x-1/x-2
- (x^2-4)*(x-1) dividir por x-2
-
Expresiones semejantes
- (x^2+4)*(x-1)/x-2
- (x^2-4)*(x+1)/x-2
- (x^2-4)*(x-1)/x+2
Gráfico de la función y = (x^2-4)*(x-1)/x-2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
\x - 4/*(x - 1)
f(x) = ---------------- - 2
x
$$f{\left(x \right)} = -2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x}$$
f = -2 + ((x - 1)*(x^2 - 4))/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$-2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt[3]{26 + 3 \sqrt{687} i}}{3} - \frac{19}{3 \sqrt[3]{26 + 3 \sqrt{687} i}}$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$-2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt[3]{26 + 3 \sqrt{687} i}}{3} - \frac{19}{3 \sqrt[3]{26 + 3 \sqrt{687} i}}$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{2} + 2 x \left(x - 1\right) - 4}{x} - \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{327}}{18} + \frac{217}{216}}} + \frac{1}{6} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{327}}{18} + \frac{217}{216}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{327}}{18} + \frac{217}{216}}} + \frac{1}{6} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{327}}{18} + \frac{217}{216}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{327}}{18} + \frac{217}{216}}} + \frac{1}{6} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{327}}{18} + \frac{217}{216}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{327}}{18} + \frac{217}{216}}} + \frac{1}{6} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{327}}{18} + \frac{217}{216}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{2} + 2 x \left(x - 1\right) - 4}{x} - \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{327}}{18} + \frac{217}{216}}} + \frac{1}{6} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{327}}{18} + \frac{217}{216}}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2\
| / _______________ \ | / _______________ \
| | / _____ | | | / _____ |
| |1 / 217 \/ 327 1 | | | 5 / 217 \/ 327 1 |
|-4 + |- + 3 / --- + ------- + -----------------------| |*|- - + 3 / --- + ------- + -----------------------|
| |6 \/ 216 18 _______________| | | 6 \/ 216 18 _______________|
| | / _____ | | | / _____ |
_______________ | | / 217 \/ 327 | | | / 217 \/ 327 |
/ _____ | | 36*3 / --- + ------- | | | 36*3 / --- + ------- |
1 / 217 \/ 327 1 \ \ \/ 216 18 / / \ \/ 216 18 /
(- + 3 / --- + ------- + -----------------------, -2 + -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
6 \/ 216 18 _______________ _______________
/ _____ / _____
/ 217 \/ 327 1 / 217 \/ 327 1
36*3 / --- + ------- - + 3 / --- + ------- + -----------------------
\/ 216 18 6 \/ 216 18 _______________
/ _____
/ 217 \/ 327
36*3 / --- + -------
\/ 216 18 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{327}}{18} + \frac{217}{216}}} + \frac{1}{6} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{327}}{18} + \frac{217}{216}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{327}}{18} + \frac{217}{216}}} + \frac{1}{6} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{327}}{18} + \frac{217}{216}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{327}}{18} + \frac{217}{216}}} + \frac{1}{6} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{327}}{18} + \frac{217}{216}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 x - \frac{x^{2} - 4}{x} - \frac{x^{2} + 2 x \left(x - 1\right) - 4}{x} + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 x - \frac{x^{2} - 4}{x} - \frac{x^{2} + 2 x \left(x - 1\right) - 4}{x} + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x - \frac{x^{2} - 4}{x} - \frac{x^{2} + 2 x \left(x - 1\right) - 4}{x} + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x^{2}}}{x}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2^{\frac{2}{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- 2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 x - \frac{x^{2} - 4}{x} - \frac{x^{2} + 2 x \left(x - 1\right) - 4}{x} + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 x - \frac{x^{2} - 4}{x} - \frac{x^{2} + 2 x \left(x - 1\right) - 4}{x} + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x - \frac{x^{2} - 4}{x} - \frac{x^{2} + 2 x \left(x - 1\right) - 4}{x} + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x^{2}}}{x}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2^{\frac{2}{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- 2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(-2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(-2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(-2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(-2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x^2 - 4)*(x - 1))/x - 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$-2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x} = -2 - \frac{\left(- x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x}$$
- No
$$-2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x} = 2 + \frac{\left(- x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$-2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x} = -2 - \frac{\left(- x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x}$$
- No
$$-2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x} = 2 + \frac{\left(- x - 1\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar