Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- ((x- uno)(x- cuatro)(x- cinco))/(cuatro -x)
- ((x menos 1)(x menos 4)(x menos 5)) dividir por (4 menos x)
- ((x menos uno)(x menos cuatro)(x menos cinco)) dividir por (cuatro menos x)
- x-1x-4x-5/4-x
- ((x-1)(x-4)(x-5)) dividir por (4-x)
-
Expresiones semejantes
- ((x+1)(x-4)(x-5))/(4-x)
- ((x-1)(x-4)(x+5))/(4-x)
- ((x-1)(x-4)(x-5))/(4+x)
- ((x-1)(x+4)(x-5))/(4-x)
Gráfico de la función y = ((x-1)(x-4)(x-5))/(4-x)
Solución
Ha introducido
[src]
(x - 1)*(x - 4)*(x - 5)
f(x) = -----------------------
4 - x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right) \left(x - 5\right)}{4 - x}$$
f = (((x - 4)*(x - 1))*(x - 5))/(4 - x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right) \left(x - 5\right)}{4 - x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 5$$
Solución numérica
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right) \left(x - 5\right)}{4 - x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 5$$
Solución numérica
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 5\right) + \left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}{4 - x} + \frac{\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}{\left(4 - x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[3, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 5\right) + \left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}{4 - x} + \frac{\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}{\left(4 - x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
Signos de extremos en los puntos:
(3, 4)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[3, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 3 x - \frac{\left(x - 5\right) \left(x - 1\right)}{x - 4} + 10 + \frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 5\right) + \left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}{x - 4}\right)}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 3 x - \frac{\left(x - 5\right) \left(x - 1\right)}{x - 4} + 10 + \frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 5\right) + \left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}{x - 4}\right)}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right) \left(x - 5\right)}{4 - x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right) \left(x - 5\right)}{4 - x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right) \left(x - 5\right)}{4 - x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right) \left(x - 5\right)}{4 - x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x - 1)*(x - 4))*(x - 5))/(4 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}{x \left(4 - x\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}{x \left(4 - x\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}{x \left(4 - x\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}{x \left(4 - x\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right) \left(x - 5\right)}{4 - x} = \frac{\left(- x - 5\right) \left(- x - 4\right) \left(- x - 1\right)}{x + 4}$$
- No
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right) \left(x - 5\right)}{4 - x} = - \frac{\left(- x - 5\right) \left(- x - 4\right) \left(- x - 1\right)}{x + 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right) \left(x - 5\right)}{4 - x} = \frac{\left(- x - 5\right) \left(- x - 4\right) \left(- x - 1\right)}{x + 4}$$
- No
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right) \left(x - 5\right)}{4 - x} = - \frac{\left(- x - 5\right) \left(- x - 4\right) \left(- x - 1\right)}{x + 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar