Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
y=(x+1)^3
2*x^2-6*x
y=5x
y=4^x
Gráfico de la función y = √(4y-y^2)
Solución
Ha introducido
[src]
__________
/ 2
f(y) = \/ 4*y - y
$$f{\left(y \right)} = \sqrt{- y^{2} + 4 y}$$
f = sqrt(-y^2 + 4*y)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{- y^{2} + 4 y} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:
Solución analítica
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 4$$
Solución numérica
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 4$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{- y^{2} + 4 y} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:
Solución analítica
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 4$$
Solución numérica
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 4$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 - y}{\sqrt{- y^{2} + 4 y}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$y_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 - y}{\sqrt{- y^{2} + 4 y}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(2, 2)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$y_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{1 + \frac{\left(y - 2\right)^{2}}{y \left(4 - y\right)}}{\sqrt{y \left(4 - y\right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{1 + \frac{\left(y - 2\right)^{2}}{y \left(4 - y\right)}}{\sqrt{y \left(4 - y\right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty} \sqrt{- y^{2} + 4 y} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{y \to \infty} \sqrt{- y^{2} + 4 y} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{y \to -\infty} \sqrt{- y^{2} + 4 y} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{y \to \infty} \sqrt{- y^{2} + 4 y} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(4*y - y^2), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- y^{2} + 4 y}}{y}\right) = - i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - i y$$
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- y^{2} + 4 y}}{y}\right) = i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = i y$$
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- y^{2} + 4 y}}{y}\right) = - i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - i y$$
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- y^{2} + 4 y}}{y}\right) = i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = i y$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{- y^{2} + 4 y} = \sqrt{- y^{2} - 4 y}$$
- No
$$\sqrt{- y^{2} + 4 y} = - \sqrt{- y^{2} - 4 y}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{- y^{2} + 4 y} = \sqrt{- y^{2} - 4 y}$$
- No
$$\sqrt{- y^{2} + 4 y} = - \sqrt{- y^{2} - 4 y}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar