Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=x^3-6x^2+8x
-
y=x^2+2x
-
y=x^2(x+3)
-
y=(x+1)/(x-1)
-
Expresiones idénticas
- (3n^ dos +n+ uno)/(n^ dos -n+ uno)
- (3n al cuadrado más n más 1) dividir por (n al cuadrado menos n más 1)
- (3n en el grado dos más n más uno) dividir por (n en el grado dos menos n más uno)
- (3n2+n+1)/(n2-n+1)
- 3n2+n+1/n2-n+1
- (3n²+n+1)/(n²-n+1)
- (3n en el grado 2+n+1)/(n en el grado 2-n+1)
- 3n^2+n+1/n^2-n+1
- (3n^2+n+1) dividir por (n^2-n+1)
-
Expresiones semejantes
- (3n^2-n+1)/(n^2-n+1)
- (3n^2+n+1)/(n^2+n+1)
- (3n^2+n-1)/(n^2-n+1)
- (3n^2+n+1)/(n^2-n-1)
Gráfico de la función y = (3n^2+n+1)/(n^2-n+1)
Solución
Ha introducido
[src]
2
3*n + n + 1
f(n) = ------------
2
n - n + 1
$$f{\left(n \right)} = \frac{\left(3 n^{2} + n\right) + 1}{\left(n^{2} - n\right) + 1}$$
f = (3*n^2 + n + 1)/(n^2 - n + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje N con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(3 n^{2} + n\right) + 1}{\left(n^{2} - n\right) + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje N
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(3 n^{2} + n\right) + 1}{\left(n^{2} - n\right) + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje N
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d n} f{\left(n \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d n} f{\left(n \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 n\right) \left(\left(3 n^{2} + n\right) + 1\right)}{\left(\left(n^{2} - n\right) + 1\right)^{2}} + \frac{6 n + 1}{\left(n^{2} - n\right) + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$n_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$n_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$n_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$n_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d n} f{\left(n \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d n} f{\left(n \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 n\right) \left(\left(3 n^{2} + n\right) + 1\right)}{\left(\left(n^{2} - n\right) + 1\right)^{2}} + \frac{6 n + 1}{\left(n^{2} - n\right) + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$n_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$n_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
/ ___\ ___
3 |1 \/ 3 | \/ 3
___ - + 3*|- - -----| - -----
1 \/ 3 2 \2 2 / 2
(- - -----, --------------------------)
2 2 2
/ ___\ ___
1 |1 \/ 3 | \/ 3
- + |- - -----| + -----
2 \2 2 / 2 2
___ / ___\
3 \/ 3 |1 \/ 3 |
___ - + ----- + 3*|- + -----|
1 \/ 3 2 2 \2 2 /
(- + -----, --------------------------)
2 2 2
/ ___\ ___
1 |1 \/ 3 | \/ 3
- + |- + -----| - -----
2 \2 2 / 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$n_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$n_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d n^{2}} f{\left(n \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d n^{2}} f{\left(n \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{\left(2 n - 1\right) \left(6 n + 1\right)}{n^{2} - n + 1} + \frac{\left(\frac{\left(2 n - 1\right)^{2}}{n^{2} - n + 1} - 1\right) \left(3 n^{2} + n + 1\right)}{n^{2} - n + 1} + 3\right)}{n^{2} - n + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$n_{1} = -1$$
$$n_{2} = \frac{1}{2}$$
$$n_{3} = 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1, \frac{1}{2}\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[\frac{1}{2}, 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d n^{2}} f{\left(n \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d n^{2}} f{\left(n \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{\left(2 n - 1\right) \left(6 n + 1\right)}{n^{2} - n + 1} + \frac{\left(\frac{\left(2 n - 1\right)^{2}}{n^{2} - n + 1} - 1\right) \left(3 n^{2} + n + 1\right)}{n^{2} - n + 1} + 3\right)}{n^{2} - n + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$n_{1} = -1$$
$$n_{2} = \frac{1}{2}$$
$$n_{3} = 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1, \frac{1}{2}\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[\frac{1}{2}, 2\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con n->+oo y n->-oo
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(3 n^{2} + n\right) + 1}{\left(n^{2} - n\right) + 1}\right) = 3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 3$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(3 n^{2} + n\right) + 1}{\left(n^{2} - n\right) + 1}\right) = 3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 3$$
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(3 n^{2} + n\right) + 1}{\left(n^{2} - n\right) + 1}\right) = 3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 3$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(3 n^{2} + n\right) + 1}{\left(n^{2} - n\right) + 1}\right) = 3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 3$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*n^2 + n + 1)/(n^2 - n + 1), dividida por n con n->+oo y n ->-oo
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(3 n^{2} + n\right) + 1}{n \left(\left(n^{2} - n\right) + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(3 n^{2} + n\right) + 1}{n \left(\left(n^{2} - n\right) + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(3 n^{2} + n\right) + 1}{n \left(\left(n^{2} - n\right) + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(3 n^{2} + n\right) + 1}{n \left(\left(n^{2} - n\right) + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-n) и f = -f(-n).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(3 n^{2} + n\right) + 1}{\left(n^{2} - n\right) + 1} = \frac{3 n^{2} - n + 1}{n^{2} + n + 1}$$
- No
$$\frac{\left(3 n^{2} + n\right) + 1}{\left(n^{2} - n\right) + 1} = - \frac{3 n^{2} - n + 1}{n^{2} + n + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(3 n^{2} + n\right) + 1}{\left(n^{2} - n\right) + 1} = \frac{3 n^{2} - n + 1}{n^{2} + n + 1}$$
- No
$$\frac{\left(3 n^{2} + n\right) + 1}{\left(n^{2} - n\right) + 1} = - \frac{3 n^{2} - n + 1}{n^{2} + n + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar