Sr Examen

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x^6-3x^2

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x/(1+x^2) x/(1+x^2)
  • y^2+1 y^2+1
  • x/(x^2-1) x/(x^2-1)
  • 1-x^2 1-x^2

  • Expresiones idénticas

  • x^ seis -3x^ dos
  • x en el grado 6 menos 3x al cuadrado
  • x en el grado seis menos 3x en el grado dos
  • x6-3x2
  • x⁶-3x²
  • x en el grado 6-3x en el grado 2

  • Expresiones semejantes

  • x^6+3x^2
Trazado el gráfico de la función/ x^6-3x^2

Gráfico de la función y = x^6-3x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        6      2
f(x) = x  - 3*x
f(x)=x6−3x2f{\left(x \right)} = x^{6} - 3 x^{2} 
f = x^6 - 3*x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102000000-1000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x6−3x2=0x^{6} - 3 x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−34x_{2} = - \sqrt[4]{3}
x3=34x_{3} = \sqrt[4]{3}
Solución numérica
x1=−1.31607401295249x_{1} = -1.31607401295249
x2=1.31607401295249x_{2} = 1.31607401295249
x3=0x_{3} = 0
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x5−6x=06 x^{5} - 6 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, -2)

(0, 0)

(1, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−1,0]∪[1,∞)\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]∪[0,1]\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(5x4−1)=06 \left(5 x^{4} - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5345x_{1} = - \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}
x2=5345x_{2} = \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−5345]∪[5345,∞)\left(-\infty, - \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}\right] \cup \left[\frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−5345,5345]\left[- \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}, \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x6−3x2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{6} - 3 x^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x6−3x2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{6} - 3 x^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^6 - 3*x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x6−3x2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{6} - 3 x^{2}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x6−3x2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{6} - 3 x^{2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x6−3x2=x6−3x2x^{6} - 3 x^{2} = x^{6} - 3 x^{2}
- Sí
x6−3x2=−x6+3x2x^{6} - 3 x^{2} = - x^{6} + 3 x^{2}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = x^6-3x^2
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