Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
x+1/(x-1)^2
-
Expresiones idénticas
- y=((x+ dos)(x- uno))/((x- dos)(x+ uno))
- y es igual a ((x más 2)(x menos 1)) dividir por ((x menos 2)(x más 1))
- y es igual a ((x más dos)(x menos uno)) dividir por ((x menos dos)(x más uno))
- y=x+2x-1/x-2x+1
- y=((x+2)(x-1)) dividir por ((x-2)(x+1))
-
Expresiones semejantes
- y=((x+2)(x+1))/((x-2)(x+1))
- y=((x-2)(x-1))/((x-2)(x+1))
- y=((x+2)(x-1))/((x-2)(x-1))
- y=((x+2)(x-1))/((x+2)(x+1))
Gráfico de la función y = y=((x+2)(x-1))/((x-2)(x+1))
Solución
Ha introducido
[src]
(x + 2)*(x - 1)
f(x) = ---------------
(x - 2)*(x + 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}$$
f = ((x - 1)*(x + 2))/(((x - 2)*(x + 1)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 x\right) \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} \left(2 x + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 x\right) \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} \left(2 x + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x - 1}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 \left(2 x - 1\right) \left(2 x + 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt[3]{2} + 2^{\frac{2}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x - 1}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 \left(2 x - 1\right) \left(2 x + 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x - 1}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 \left(2 x - 1\right) \left(2 x + 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x - 1}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 \left(2 x - 1\right) \left(2 x + 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x - 1}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 \left(2 x - 1\right) \left(2 x + 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{2} + 2^{\frac{2}{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt[3]{2} + 2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x - 1}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 \left(2 x - 1\right) \left(2 x + 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt[3]{2} + 2^{\frac{2}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x - 1}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 \left(2 x - 1\right) \left(2 x + 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x - 1}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 \left(2 x - 1\right) \left(2 x + 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x - 1}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 \left(2 x - 1\right) \left(2 x + 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x - 1}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 \left(2 x - 1\right) \left(2 x + 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{2} + 2^{\frac{2}{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt[3]{2} + 2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 2)*(x - 1))/(((x - 2)*(x + 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = \frac{\left(2 - x\right) \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right) \left(- x - 2\right)}$$
- No
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = - \frac{\left(2 - x\right) \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right) \left(- x - 2\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = \frac{\left(2 - x\right) \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right) \left(- x - 2\right)}$$
- No
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} = - \frac{\left(2 - x\right) \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right) \left(- x - 2\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico