Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (48-5x)/(x-8)

Gráfico de la función y = (48-5x)/(x-8)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       48 - 5*x
f(x) = --------
        x - 8
f(x)=48−5xx−8f{\left(x \right)} = \frac{48 - 5 x}{x - 8} 
f = (48 - 5*x)/(x - 8)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=8x_{1} = 8
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
48−5xx−8=0\frac{48 - 5 x}{x - 8} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=485x_{1} = \frac{48}{5}
Solución numérica
x1=9.6x_{1} = 9.6
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (48 - 5*x)/(x - 8).
48−0−8\frac{48 - 0}{-8}
Resultado:
f(0)=−6f{\left(0 \right)} = -6
Punto:
(0, -6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−48−5x(x−8)2−5x−8=0- \frac{48 - 5 x}{\left(x - 8\right)^{2}} - \frac{5}{x - 8} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(5−5x−48x−8)(x−8)2=0\frac{2 \left(5 - \frac{5 x - 48}{x - 8}\right)}{\left(x - 8\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=8x_{1} = 8
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(48−5xx−8)=−5\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{48 - 5 x}{x - 8}\right) = -5
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−5y = -5
lim⁡x→∞(48−5xx−8)=−5\lim_{x \to \infty}\left(\frac{48 - 5 x}{x - 8}\right) = -5
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−5y = -5
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (48 - 5*x)/(x - 8), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(48−5xx(x−8))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{48 - 5 x}{x \left(x - 8\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(48−5xx(x−8))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{48 - 5 x}{x \left(x - 8\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
48−5xx−8=5x+48−x−8\frac{48 - 5 x}{x - 8} = \frac{5 x + 48}{- x - 8}
- No
48−5xx−8=−5x+48−x−8\frac{48 - 5 x}{x - 8} = - \frac{5 x + 48}{- x - 8}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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