Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
2x-3*x^(2/3)
-
2*x^2-x^3
-
2*x^2-20*x+1
-
2x^3+9x^2+12x
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres *((x- uno)^ cuatro)*(x+ cinco))/((x- ocho)*(uno - cuatro *x))
- (x al cubo multiplicar por ((x menos 1) en el grado 4) multiplicar por (x más 5)) dividir por ((x menos 8) multiplicar por (1 menos 4 multiplicar por x))
- (x en el grado tres multiplicar por ((x menos uno) en el grado cuatro) multiplicar por (x más cinco)) dividir por ((x menos ocho) multiplicar por (uno menos cuatro multiplicar por x))
- (x3*((x-1)4)*(x+5))/((x-8)*(1-4*x))
- x3*x-14*x+5/x-8*1-4*x
- (x³*((x-1)⁴)*(x+5))/((x-8)*(1-4*x))
- (x en el grado 3*((x-1) en el grado 4)*(x+5))/((x-8)*(1-4*x))
- (x^3((x-1)^4)(x+5))/((x-8)(1-4x))
- (x3((x-1)4)(x+5))/((x-8)(1-4x))
- x3x-14x+5/x-81-4x
- x^3x-1^4x+5/x-81-4x
- (x^3*((x-1)^4)*(x+5)) dividir por ((x-8)*(1-4*x))
-
Expresiones semejantes
- (x^3*((x+1)^4)*(x+5))/((x-8)*(1-4*x))
- (x^3*((x-1)^4)*(x+5))/((x+8)*(1-4*x))
- (x^3*((x-1)^4)*(x-5))/((x-8)*(1-4*x))
- (x^3*((x-1)^4)*(x+5))/((x-8)*(1+4*x))
Gráfico de la función y = (x^3*((x-1)^4)*(x+5))/((x-8)*(1-4*x))
Solución
Ha introducido
[src]
3 4
x *(x - 1) *(x + 5)
f(x) = -------------------
(x - 8)*(1 - 4*x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 5\right)}{\left(1 - 4 x\right) \left(x - 8\right)}$$
f = ((x^3*(x - 1)^4)*(x + 5))/(((1 - 4*x)*(x - 8)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0.25$$
$$x_{2} = 8$$
$$x_{1} = 0.25$$
$$x_{2} = 8$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 5\right)}{\left(1 - 4 x\right) \left(x - 8\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 5\right)}{\left(1 - 4 x\right) \left(x - 8\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{3} \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 5\right) \left(8 x - 33\right)}{\left(1 - 4 x\right)^{2} \left(x - 8\right)^{2}} + \frac{1}{\left(1 - 4 x\right) \left(x - 8\right)} \left(x^{3} \left(x - 1\right)^{4} + \left(x + 5\right) \left(4 x^{3} \left(x - 1\right)^{3} + 3 x^{2} \left(x - 1\right)^{4}\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{3} \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 5\right) \left(8 x - 33\right)}{\left(1 - 4 x\right)^{2} \left(x - 8\right)^{2}} + \frac{1}{\left(1 - 4 x\right) \left(x - 8\right)} \left(x^{3} \left(x - 1\right)^{4} + \left(x + 5\right) \left(4 x^{3} \left(x - 1\right)^{3} + 3 x^{2} \left(x - 1\right)^{4}\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
(1, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x \left(x - 1\right)^{2} \left(- 8 x^{2} \left(x - 1\right) - \frac{x^{2} \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 5\right) \left(\left(8 x - 33\right) \left(\frac{4}{4 x - 1} + \frac{1}{x - 8}\right) - 8 + \frac{4 \left(8 x - 33\right)}{4 x - 1} + \frac{8 x - 33}{x - 8}\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 x \left(x - 1\right)^{2} + \frac{2 x \left(x - 1\right) \left(8 x - 33\right) \left(x \left(x - 1\right) + \left(x + 5\right) \left(7 x - 3\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 \left(x + 5\right) \left(2 x^{2} + 4 x \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = -3.31678782336075$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0.25$$
$$x_{2} = 8$$
$$\lim_{x \to 0.25^-}\left(\frac{x \left(x - 1\right)^{2} \left(- 8 x^{2} \left(x - 1\right) - \frac{x^{2} \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 5\right) \left(\left(8 x - 33\right) \left(\frac{4}{4 x - 1} + \frac{1}{x - 8}\right) - 8 + \frac{4 \left(8 x - 33\right)}{4 x - 1} + \frac{8 x - 33}{x - 8}\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 x \left(x - 1\right)^{2} + \frac{2 x \left(x - 1\right) \left(8 x - 33\right) \left(x \left(x - 1\right) + \left(x + 5\right) \left(7 x - 3\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 \left(x + 5\right) \left(2 x^{2} + 4 x \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0.25^+}\left(\frac{x \left(x - 1\right)^{2} \left(- 8 x^{2} \left(x - 1\right) - \frac{x^{2} \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 5\right) \left(\left(8 x - 33\right) \left(\frac{4}{4 x - 1} + \frac{1}{x - 8}\right) - 8 + \frac{4 \left(8 x - 33\right)}{4 x - 1} + \frac{8 x - 33}{x - 8}\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 x \left(x - 1\right)^{2} + \frac{2 x \left(x - 1\right) \left(8 x - 33\right) \left(x \left(x - 1\right) + \left(x + 5\right) \left(7 x - 3\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 \left(x + 5\right) \left(2 x^{2} + 4 x \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0.25$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 8^-}\left(\frac{x \left(x - 1\right)^{2} \left(- 8 x^{2} \left(x - 1\right) - \frac{x^{2} \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 5\right) \left(\left(8 x - 33\right) \left(\frac{4}{4 x - 1} + \frac{1}{x - 8}\right) - 8 + \frac{4 \left(8 x - 33\right)}{4 x - 1} + \frac{8 x - 33}{x - 8}\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 x \left(x - 1\right)^{2} + \frac{2 x \left(x - 1\right) \left(8 x - 33\right) \left(x \left(x - 1\right) + \left(x + 5\right) \left(7 x - 3\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 \left(x + 5\right) \left(2 x^{2} + 4 x \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 8^+}\left(\frac{x \left(x - 1\right)^{2} \left(- 8 x^{2} \left(x - 1\right) - \frac{x^{2} \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 5\right) \left(\left(8 x - 33\right) \left(\frac{4}{4 x - 1} + \frac{1}{x - 8}\right) - 8 + \frac{4 \left(8 x - 33\right)}{4 x - 1} + \frac{8 x - 33}{x - 8}\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 x \left(x - 1\right)^{2} + \frac{2 x \left(x - 1\right) \left(8 x - 33\right) \left(x \left(x - 1\right) + \left(x + 5\right) \left(7 x - 3\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 \left(x + 5\right) \left(2 x^{2} + 4 x \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 8$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-3.31678782336075, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -3.31678782336075\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x \left(x - 1\right)^{2} \left(- 8 x^{2} \left(x - 1\right) - \frac{x^{2} \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 5\right) \left(\left(8 x - 33\right) \left(\frac{4}{4 x - 1} + \frac{1}{x - 8}\right) - 8 + \frac{4 \left(8 x - 33\right)}{4 x - 1} + \frac{8 x - 33}{x - 8}\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 x \left(x - 1\right)^{2} + \frac{2 x \left(x - 1\right) \left(8 x - 33\right) \left(x \left(x - 1\right) + \left(x + 5\right) \left(7 x - 3\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 \left(x + 5\right) \left(2 x^{2} + 4 x \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = -3.31678782336075$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0.25$$
$$x_{2} = 8$$
$$\lim_{x \to 0.25^-}\left(\frac{x \left(x - 1\right)^{2} \left(- 8 x^{2} \left(x - 1\right) - \frac{x^{2} \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 5\right) \left(\left(8 x - 33\right) \left(\frac{4}{4 x - 1} + \frac{1}{x - 8}\right) - 8 + \frac{4 \left(8 x - 33\right)}{4 x - 1} + \frac{8 x - 33}{x - 8}\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 x \left(x - 1\right)^{2} + \frac{2 x \left(x - 1\right) \left(8 x - 33\right) \left(x \left(x - 1\right) + \left(x + 5\right) \left(7 x - 3\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 \left(x + 5\right) \left(2 x^{2} + 4 x \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0.25^+}\left(\frac{x \left(x - 1\right)^{2} \left(- 8 x^{2} \left(x - 1\right) - \frac{x^{2} \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 5\right) \left(\left(8 x - 33\right) \left(\frac{4}{4 x - 1} + \frac{1}{x - 8}\right) - 8 + \frac{4 \left(8 x - 33\right)}{4 x - 1} + \frac{8 x - 33}{x - 8}\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 x \left(x - 1\right)^{2} + \frac{2 x \left(x - 1\right) \left(8 x - 33\right) \left(x \left(x - 1\right) + \left(x + 5\right) \left(7 x - 3\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 \left(x + 5\right) \left(2 x^{2} + 4 x \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0.25$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 8^-}\left(\frac{x \left(x - 1\right)^{2} \left(- 8 x^{2} \left(x - 1\right) - \frac{x^{2} \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 5\right) \left(\left(8 x - 33\right) \left(\frac{4}{4 x - 1} + \frac{1}{x - 8}\right) - 8 + \frac{4 \left(8 x - 33\right)}{4 x - 1} + \frac{8 x - 33}{x - 8}\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 x \left(x - 1\right)^{2} + \frac{2 x \left(x - 1\right) \left(8 x - 33\right) \left(x \left(x - 1\right) + \left(x + 5\right) \left(7 x - 3\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 \left(x + 5\right) \left(2 x^{2} + 4 x \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 8^+}\left(\frac{x \left(x - 1\right)^{2} \left(- 8 x^{2} \left(x - 1\right) - \frac{x^{2} \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 5\right) \left(\left(8 x - 33\right) \left(\frac{4}{4 x - 1} + \frac{1}{x - 8}\right) - 8 + \frac{4 \left(8 x - 33\right)}{4 x - 1} + \frac{8 x - 33}{x - 8}\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 x \left(x - 1\right)^{2} + \frac{2 x \left(x - 1\right) \left(8 x - 33\right) \left(x \left(x - 1\right) + \left(x + 5\right) \left(7 x - 3\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)} - 6 \left(x + 5\right) \left(2 x^{2} + 4 x \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right)\right)}{\left(x - 8\right) \left(4 x - 1\right)}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 8$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-3.31678782336075, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -3.31678782336075\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0.25$$
$$x_{2} = 8$$
$$x_{1} = 0.25$$
$$x_{2} = 8$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 5\right)}{\left(1 - 4 x\right) \left(x - 8\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 5\right)}{\left(1 - 4 x\right) \left(x - 8\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 5\right)}{\left(1 - 4 x\right) \left(x - 8\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 5\right)}{\left(1 - 4 x\right) \left(x - 8\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x^3*(x - 1)^4)*(x + 5))/(((x - 8)*(1 - 4*x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \frac{1}{\left(1 - 4 x\right) \left(x - 8\right)} \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 5\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \frac{1}{\left(1 - 4 x\right) \left(x - 8\right)} \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 5\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \frac{1}{\left(1 - 4 x\right) \left(x - 8\right)} \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 5\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \frac{1}{\left(1 - 4 x\right) \left(x - 8\right)} \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 5\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 5\right)}{\left(1 - 4 x\right) \left(x - 8\right)} = - \frac{x^{3} \left(5 - x\right) \left(- x - 1\right)^{4}}{\left(- x - 8\right) \left(4 x + 1\right)}$$
- No
$$\frac{x^{3} \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 5\right)}{\left(1 - 4 x\right) \left(x - 8\right)} = \frac{x^{3} \left(5 - x\right) \left(- x - 1\right)^{4}}{\left(- x - 8\right) \left(4 x + 1\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 5\right)}{\left(1 - 4 x\right) \left(x - 8\right)} = - \frac{x^{3} \left(5 - x\right) \left(- x - 1\right)^{4}}{\left(- x - 8\right) \left(4 x + 1\right)}$$
- No
$$\frac{x^{3} \left(x - 1\right)^{4} \left(x + 5\right)}{\left(1 - 4 x\right) \left(x - 8\right)} = \frac{x^{3} \left(5 - x\right) \left(- x - 1\right)^{4}}{\left(- x - 8\right) \left(4 x + 1\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar