Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • (x+5)^2-9 (x+5)^2-9
  • x^(7/2)-3 x^(7/2)-3
  • x^3/ x^3/
  • x^4-3*x^2+4 x^4-3*x^2+4
  • Expresiones idénticas

  • y=((tres x- uno)/(x+3))^(dos)
  • y es igual a ((3x menos 1) dividir por (x más 3)) en el grado (2)
  • y es igual a ((tres x menos uno) dividir por (x más 3)) en el grado (dos)
  • y=((3x-1)/(x+3))(2)
  • y=3x-1/x+32
  • y=3x-1/x+3^2
  • y=((3x-1) dividir por (x+3))^(2)
  • Expresiones semejantes

  • y=((3x+1)/(x+3))^(2)
  • y=((3x-1)/(x-3))^(2)

Gráfico de la función y = y=((3x-1)/(x+3))^(2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                2
       /3*x - 1\ 
f(x) = |-------| 
       \ x + 3 / 
$$f{\left(x \right)} = \left(\frac{3 x - 1}{x + 3}\right)^{2}$$
f = ((3*x - 1)/(x + 3))^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{3 x - 1}{x + 3}\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.333333640104124$$
$$x_{2} = 0.333332872650958$$
$$x_{3} = 0.333333275816364$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((3*x - 1)/(x + 3))^2.
$$\left(\frac{-1 + 0 \cdot 3}{3}\right)^{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{1}{9}$$
Punto:
(0, 1/9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{\left(3 x - 1\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}} \left(x + 3\right) \left(\frac{6}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x - 1\right)}{\left(x + 3\right)^{2}}\right)}{3 x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(1/3, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(3 x - 1\right)}{x + 3}\right) \left(3 - \frac{3 x - 1}{x + 3}\right)}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$

$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(3 x - 1\right)}{x + 3}\right) \left(3 - \frac{3 x - 1}{x + 3}\right)}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(3 x - 1\right)}{x + 3}\right) \left(3 - \frac{3 x - 1}{x + 3}\right)}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x - 1}{x + 3}\right)^{2} = 9$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 9$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 1}{x + 3}\right)^{2} = 9$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 9$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((3*x - 1)/(x + 3))^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} \left(3 x - 1\right)^{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} \left(3 x - 1\right)^{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{3 x - 1}{x + 3}\right)^{2} = \frac{\left(- 3 x - 1\right)^{2}}{\left(3 - x\right)^{2}}$$
- No
$$\left(\frac{3 x - 1}{x + 3}\right)^{2} = - \frac{\left(- 3 x - 1\right)^{2}}{\left(3 - x\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar