Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
3/(x^2+1)
-
(1/3)^x
-
x/(x^3+2)
-
y=2x-3
-
Expresiones idénticas
- x^ cuatro - cinco *x^ dos + cuatro /(x+ uno)*(x- dos)
- x en el grado 4 menos 5 multiplicar por x al cuadrado más 4 dividir por (x más 1) multiplicar por (x menos 2)
- x en el grado cuatro menos cinco multiplicar por x en el grado dos más cuatro dividir por (x más uno) multiplicar por (x menos dos)
- x4-5*x2+4/(x+1)*(x-2)
- x4-5*x2+4/x+1*x-2
- x⁴-5*x²+4/(x+1)*(x-2)
- x en el grado 4-5*x en el grado 2+4/(x+1)*(x-2)
- x^4-5x^2+4/(x+1)(x-2)
- x4-5x2+4/(x+1)(x-2)
- x4-5x2+4/x+1x-2
- x^4-5x^2+4/x+1x-2
- x^4-5*x^2+4 dividir por (x+1)*(x-2)
-
Expresiones semejantes
- x^4-5*x^2+4/(x-1)*(x-2)
- x^4-5*x^2-4/(x+1)*(x-2)
- x^4+5*x^2+4/(x+1)*(x-2)
- x^4-5*x^2+4/(x+1)*(x+2)
Gráfico de la función y = x^4-5*x^2+4/(x+1)*(x-2)
Solución
Ha introducido
[src]
4 2 4
f(x) = x - 5*x + -----*(x - 2)
x + 1
$$f{\left(x \right)} = \left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right)$$
f = (x - 2)*(4/(x + 1)) + x^4 - 5*x^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \operatorname{CRootOf} {\left(x^{5} + x^{4} - 5 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 8, 0\right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.22348947638623$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \operatorname{CRootOf} {\left(x^{5} + x^{4} - 5 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 8, 0\right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.22348947638623$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 10 x - \frac{4 \left(x - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}} - \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}} + 2}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}} - \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}} + 2}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}} - \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}} + 2}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}} - \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}} + 2}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-2, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}} - \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}} + 2}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}} - \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}} + 2}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}} - \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}} + 2}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}}{2}, \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}} - \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}} + 2}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 10 x - \frac{4 \left(x - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}} - \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}} + 2}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}} - \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}} + 2}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 12)
/ _______________________________________________________________________________________________________________________\
4 2 | / _______________ |
_______________________________________________________________________________________________________________________ / _______________________________________________________________________________________________________________________\ / _______________________________________________________________________________________________________________________\ | / / ____ |
/ _______________ | / _______________ | | / _______________ | | / / 39 3*\/ 22 4 9 |
/ / ____ | / / ____ | | / / ____ | | / 2 - 2*3 / -- + -------- + --------------------------------------------------------------- - ---------------------- |
/ / 39 3*\/ 22 4 9 | / / 39 3*\/ 22 4 9 | | / / 39 3*\/ 22 4 9 | | _____________________________________________________ / \/ 64 32 _____________________________________________________ _______________ |
/ 2 - 2*3 / -- + -------- + --------------------------------------------------------------- - ---------------------- | / 2 - 2*3 / -- + -------- + --------------------------------------------------------------- - ---------------------- | | / 2 - 2*3 / -- + -------- + --------------------------------------------------------------- - ---------------------- | | / _______________ / / _______________ / ____ |
_____________________________________________________ / \/ 64 32 _____________________________________________________ _______________ | _____________________________________________________ / \/ 64 32 _____________________________________________________ _______________ | | _____________________________________________________ / \/ 64 32 _____________________________________________________ _______________ | | / / ____ / / / ____ / 39 3*\/ 22 |
/ _______________ / / _______________ / ____ | / _______________ / / _______________ / ____ | | / _______________ / / _______________ / ____ | | / / 39 3*\/ 22 9 / / / 39 3*\/ 22 9 8*3 / -- + -------- |
/ / ____ / / / ____ / 39 3*\/ 22 | / / ____ / / / ____ / 39 3*\/ 22 | | / / ____ / / / ____ / 39 3*\/ 22 | | / 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- / / 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- \/ 64 32 |
/ / 39 3*\/ 22 9 / / / 39 3*\/ 22 9 8*3 / -- + -------- | / / 39 3*\/ 22 9 / / / 39 3*\/ 22 9 8*3 / -- + -------- | | / / 39 3*\/ 22 9 / / / 39 3*\/ 22 9 8*3 / -- + -------- | | / \/ 64 32 _______________ / / \/ 64 32 _______________ |
/ 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- / / 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- \/ 64 32 | / 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- / / 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- \/ 64 32 | | / 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- / / 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- \/ 64 32 | | / / ____ / / / ____ |
/ \/ 64 32 _______________ / / \/ 64 32 _______________ | / \/ 64 32 _______________ / / \/ 64 32 _______________ | | / \/ 64 32 _______________ / / \/ 64 32 _______________ | | / / 39 3*\/ 22 / / / 39 3*\/ 22 |
/ / ____ / / / ____ | / / ____ / / / ____ | | / / ____ / / / ____ | | / 8*3 / -- + -------- / / 8*3 / -- + -------- |
/ / 39 3*\/ 22 / / / 39 3*\/ 22 | / / 39 3*\/ 22 / / / 39 3*\/ 22 | | / / 39 3*\/ 22 / / / 39 3*\/ 22 | | \/ \/ 64 32 \/ \/ \/ 64 32 |
/ 8*3 / -- + -------- / / 8*3 / -- + -------- | / 8*3 / -- + -------- / / 8*3 / -- + -------- | | / 8*3 / -- + -------- / / 8*3 / -- + -------- | 4*|-2 + --------------------------------------------------------------- - --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
\/ \/ 64 32 \/ \/ \/ 64 32 |\/ \/ 64 32 \/ \/ \/ 64 32 | |\/ \/ 64 32 \/ \/ \/ 64 32 | \ 2 2 /
(--------------------------------------------------------------- - --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, |--------------------------------------------------------------- - --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| - 5*|--------------------------------------------------------------- - --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| + -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
2 2 \ 2 2 / \ 2 2 / _______________________________________________________________________________________________________________________
/ _______________
/ / ____
/ / 39 3*\/ 22 4 9
/ 2 - 2*3 / -- + -------- + --------------------------------------------------------------- - ----------------------
_____________________________________________________ / \/ 64 32 _____________________________________________________ _______________
/ _______________ / / _______________ / ____
/ / ____ / / / ____ / 39 3*\/ 22
/ / 39 3*\/ 22 9 / / / 39 3*\/ 22 9 8*3 / -- + --------
/ 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- / / 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- \/ 64 32
/ \/ 64 32 _______________ / / \/ 64 32 _______________
/ / ____ / / / ____
/ / 39 3*\/ 22 / / / 39 3*\/ 22
/ 8*3 / -- + -------- / / 8*3 / -- + --------
\/ \/ 64 32 \/ \/ \/ 64 32
1 + --------------------------------------------------------------- - --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2 / _______________________________________________________________________________________________________________________\
4 2 | / _______________ |
_______________________________________________________________________________________________________________________ / _______________________________________________________________________________________________________________________\ / _______________________________________________________________________________________________________________________\ | / / ____ |
/ _______________ | / _______________ | | / _______________ | | / / 39 3*\/ 22 4 9 |
/ / ____ | / / ____ | | / / ____ | | / 2 - 2*3 / -- + -------- + --------------------------------------------------------------- - ---------------------- |
/ / 39 3*\/ 22 4 9 | / / 39 3*\/ 22 4 9 | | / / 39 3*\/ 22 4 9 | | _____________________________________________________ / \/ 64 32 _____________________________________________________ _______________ |
/ 2 - 2*3 / -- + -------- + --------------------------------------------------------------- - ---------------------- | / 2 - 2*3 / -- + -------- + --------------------------------------------------------------- - ---------------------- | | / 2 - 2*3 / -- + -------- + --------------------------------------------------------------- - ---------------------- | | / _______________ / / _______________ / ____ |
_____________________________________________________ / \/ 64 32 _____________________________________________________ _______________ | _____________________________________________________ / \/ 64 32 _____________________________________________________ _______________ | | _____________________________________________________ / \/ 64 32 _____________________________________________________ _______________ | | / / ____ / / / ____ / 39 3*\/ 22 |
/ _______________ / / _______________ / ____ | / _______________ / / _______________ / ____ | | / _______________ / / _______________ / ____ | | / / 39 3*\/ 22 9 / / / 39 3*\/ 22 9 8*3 / -- + -------- |
/ / ____ / / / ____ / 39 3*\/ 22 | / / ____ / / / ____ / 39 3*\/ 22 | | / / ____ / / / ____ / 39 3*\/ 22 | | / 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- / / 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- \/ 64 32 |
/ / 39 3*\/ 22 9 / / / 39 3*\/ 22 9 8*3 / -- + -------- | / / 39 3*\/ 22 9 / / / 39 3*\/ 22 9 8*3 / -- + -------- | | / / 39 3*\/ 22 9 / / / 39 3*\/ 22 9 8*3 / -- + -------- | | / \/ 64 32 _______________ / / \/ 64 32 _______________ |
/ 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- / / 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- \/ 64 32 | / 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- / / 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- \/ 64 32 | | / 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- / / 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- \/ 64 32 | | / / ____ / / / ____ |
/ \/ 64 32 _______________ / / \/ 64 32 _______________ | / \/ 64 32 _______________ / / \/ 64 32 _______________ | | / \/ 64 32 _______________ / / \/ 64 32 _______________ | | / / 39 3*\/ 22 / / / 39 3*\/ 22 |
/ / ____ / / / ____ | / / ____ / / / ____ | | / / ____ / / / ____ | | / 8*3 / -- + -------- / / 8*3 / -- + -------- |
/ / 39 3*\/ 22 / / / 39 3*\/ 22 | / / 39 3*\/ 22 / / / 39 3*\/ 22 | | / / 39 3*\/ 22 / / / 39 3*\/ 22 | | \/ \/ 64 32 \/ \/ \/ 64 32 |
/ 8*3 / -- + -------- / / 8*3 / -- + -------- | / 8*3 / -- + -------- / / 8*3 / -- + -------- | | / 8*3 / -- + -------- / / 8*3 / -- + -------- | 4*|-2 + --------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
\/ \/ 64 32 \/ \/ \/ 64 32 |\/ \/ 64 32 \/ \/ \/ 64 32 | |\/ \/ 64 32 \/ \/ \/ 64 32 | \ 2 2 /
(--------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, |--------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| - 5*|--------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| + -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
2 2 \ 2 2 / \ 2 2 / _______________________________________________________________________________________________________________________
/ _______________
/ / ____
/ / 39 3*\/ 22 4 9
/ 2 - 2*3 / -- + -------- + --------------------------------------------------------------- - ----------------------
_____________________________________________________ / \/ 64 32 _____________________________________________________ _______________
/ _______________ / / _______________ / ____
/ / ____ / / / ____ / 39 3*\/ 22
/ / 39 3*\/ 22 9 / / / 39 3*\/ 22 9 8*3 / -- + --------
/ 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- / / 1 + 2*3 / -- + -------- + ---------------------- \/ 64 32
/ \/ 64 32 _______________ / / \/ 64 32 _______________
/ / ____ / / / ____
/ / 39 3*\/ 22 / / / 39 3*\/ 22
/ 8*3 / -- + -------- / / 8*3 / -- + --------
\/ \/ 64 32 \/ \/ \/ 64 32
1 + --------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}} - \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}} + 2}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}} - \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}} + 2}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-2, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}} - \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}} + 2}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}} - \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}} + 2}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}} - \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}} + 2}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}}{2}, \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}} - \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}} + 2}}{2} + \frac{\sqrt{1 + \frac{9}{8 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{22}}{32} + \frac{39}{64}}}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(6 x^{2} + \frac{4 \left(x - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{3}} - 5 - \frac{4}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1.03476429074442$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(2 \left(6 x^{2} + \frac{4 \left(x - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{3}} - 5 - \frac{4}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(2 \left(6 x^{2} + \frac{4 \left(x - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{3}} - 5 - \frac{4}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1.03476429074442, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1.03476429074442\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(6 x^{2} + \frac{4 \left(x - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{3}} - 5 - \frac{4}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1.03476429074442$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(2 \left(6 x^{2} + \frac{4 \left(x - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{3}} - 5 - \frac{4}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(2 \left(6 x^{2} + \frac{4 \left(x - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{3}} - 5 - \frac{4}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1.03476429074442, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1.03476429074442\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 5*x^2 + (4/(x + 1))*(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right) = x^{4} - 5 x^{2} + \frac{4 \left(- x - 2\right)}{1 - x}$$
- No
$$\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right) = - x^{4} + 5 x^{2} - \frac{4 \left(- x - 2\right)}{1 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right) = x^{4} - 5 x^{2} + \frac{4 \left(- x - 2\right)}{1 - x}$$
- No
$$\left(x - 2\right) \frac{4}{x + 1} + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right) = - x^{4} + 5 x^{2} - \frac{4 \left(- x - 2\right)}{1 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico