Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (3*x+1)/(4*x-2)

Gráfico de la función y = (3*x+1)/(4*x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       3*x + 1
f(x) = -------
       4*x - 2
f(x)=3x+14x−2f{\left(x \right)} = \frac{3 x + 1}{4 x - 2} 
f = (3*x + 1)/(4*x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3x+14x−2=0\frac{3 x + 1}{4 x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
Solución numérica
x1=−0.333333333333333x_{1} = -0.333333333333333
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (3*x + 1)/(4*x - 2).
0⋅3+1−2+0⋅4\frac{0 \cdot 3 + 1}{-2 + 0 \cdot 4}
Resultado:
f(0)=−12f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{2}
Punto:
(0, -1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4(3x+1)(4x−2)2+34x−2=0- \frac{4 \left(3 x + 1\right)}{\left(4 x - 2\right)^{2}} + \frac{3}{4 x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−3+2(3x+1)2x−1)(2x−1)2=0\frac{2 \left(-3 + \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{2 x - 1}\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3x+14x−2)=34\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + 1}{4 x - 2}\right) = \frac{3}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=34y = \frac{3}{4}
lim⁡x→∞(3x+14x−2)=34\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 1}{4 x - 2}\right) = \frac{3}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=34y = \frac{3}{4}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*x + 1)/(4*x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3x+1x(4x−2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + 1}{x \left(4 x - 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3x+1x(4x−2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 1}{x \left(4 x - 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3x+14x−2=1−3x−4x−2\frac{3 x + 1}{4 x - 2} = \frac{1 - 3 x}{- 4 x - 2}
- No
3x+14x−2=−1−3x−4x−2\frac{3 x + 1}{4 x - 2} = - \frac{1 - 3 x}{- 4 x - 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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