Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*exp(-x)
-
(1/2)^x
-
-x^2+3*x
-
(x-3)^2
- Derivada de:
-
(x^3-2)*(x^2+x+1)
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres - dos)*(x^ dos +x+ uno)
- (x al cubo menos 2) multiplicar por (x al cuadrado más x más 1)
- (x en el grado tres menos dos) multiplicar por (x en el grado dos más x más uno)
- (x3-2)*(x2+x+1)
- x3-2*x2+x+1
- (x³-2)*(x²+x+1)
- (x en el grado 3-2)*(x en el grado 2+x+1)
- (x^3-2)(x^2+x+1)
- (x3-2)(x2+x+1)
- x3-2x2+x+1
- x^3-2x^2+x+1
-
Expresiones semejantes
- (x^3+2)*(x^2+x+1)
- (x^3-2)*(x^2+x-1)
- (x^3-2)*(x^2-x+1)
Gráfico de la función y = (x^3-2)*(x^2+x+1)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 \ / 2 \ f(x) = \x - 2/*\x + x + 1/
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{3} - 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right)$$
f = (x^3 - 2)*(x^2 + x + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{3} - 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \sqrt[3]{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.25992104989487$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{3} - 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \sqrt[3]{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.25992104989487$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right) + \left(2 x + 1\right) \left(x^{3} - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}} - \frac{12}{25} + \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} + \frac{244}{125 \sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}} - \frac{12}{25} + \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} + \frac{244}{125 \sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}}}{2} - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}} - \frac{12}{25} + \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} + \frac{244}{125 \sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}} - \frac{12}{25} + \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} + \frac{244}{125 \sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}}}{2} - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}} - \frac{12}{25} + \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} + \frac{244}{125 \sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}}}{2} - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}} - \frac{12}{25} + \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} + \frac{244}{125 \sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}} - \frac{12}{25} + \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} + \frac{244}{125 \sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}}}{2} - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}{2}, - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}} - \frac{12}{25} + \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} + \frac{244}{125 \sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right) + \left(2 x + 1\right) \left(x^{3} - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}} - \frac{12}{25} + \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} + \frac{244}{125 \sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}} - \frac{12}{25} + \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} + \frac{244}{125 \sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}}}{2} - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 3\ / 2 \
___________________________________________________________________________________________________________________________________________ | / ___________________________________________________________________________________________________________________________________________\ | | / ___________________________________________________________________________________________________________________________________________\ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________|
/ _________________ | | / _________________ | | | | / _________________ | / _________________ |
/ / ______ | | / / ______ | | | | / / ______ | / / ______ |
/ 12 / 73 \/ 1418 7 244 | | / 12 / 73 \/ 1418 7 244 | | | | / 12 / 73 \/ 1418 7 244 | / 12 / 73 \/ 1418 7 244 |
/ - -- - 2*3 / ---- + -------- + ------------------------- + --------------------------------------------------------------------------- | | / - -- - 2*3 / ---- + -------- + ------------------------- + --------------------------------------------------------------------------- | | | | / - -- - 2*3 / ---- + -------- + ------------------------- + --------------------------------------------------------------------------- | / - -- - 2*3 / ---- + -------- + ------------------------- + --------------------------------------------------------------------------- |
_____________________________________________________________ / 25 \/ 1000 500 _________________ _____________________________________________________________ | | _____________________________________________________________ / 25 \/ 1000 500 _________________ _____________________________________________________________ | | | | _____________________________________________________________ / 25 \/ 1000 500 _________________ _____________________________________________________________ | _____________________________________________________________ / 25 \/ 1000 500 _________________ _____________________________________________________________ |
/ _________________ / / ______ / _________________ | | / _________________ / / ______ / _________________ | | | | / _________________ / / ______ / _________________ | / _________________ / / ______ / _________________ |
/ / ______ / / 73 \/ 1418 / / ______ | | / / ______ / / 73 \/ 1418 / / ______ | | | | / / ______ / / 73 \/ 1418 / / ______ | / / ______ / / 73 \/ 1418 / / ______ |
/ 6 / 73 \/ 1418 7 / 50*3 / ---- + -------- / 6 / 73 \/ 1418 7 | | / 6 / 73 \/ 1418 7 / 50*3 / ---- + -------- / 6 / 73 \/ 1418 7 | | | | / 6 / 73 \/ 1418 7 / 50*3 / ---- + -------- / 6 / 73 \/ 1418 7 | / 6 / 73 \/ 1418 7 / 50*3 / ---- + -------- / 6 / 73 \/ 1418 7 |
/ - -- + 2*3 / ---- + -------- - ------------------------- / \/ 1000 500 125* / - -- + 2*3 / ---- + -------- - ------------------------- | | / - -- + 2*3 / ---- + -------- - ------------------------- / \/ 1000 500 125* / - -- + 2*3 / ---- + -------- - ------------------------- | | | | / - -- + 2*3 / ---- + -------- - ------------------------- / \/ 1000 500 125* / - -- + 2*3 / ---- + -------- - ------------------------- | / - -- + 2*3 / ---- + -------- - ------------------------- / \/ 1000 500 125* / - -- + 2*3 / ---- + -------- - ------------------------- |
/ 25 \/ 1000 500 _________________ / / 25 \/ 1000 500 _________________ | | / 25 \/ 1000 500 _________________ / / 25 \/ 1000 500 _________________ | | | | / 25 \/ 1000 500 _________________ / / 25 \/ 1000 500 _________________ | / 25 \/ 1000 500 _________________ / / 25 \/ 1000 500 _________________ |
/ / ______ / / / ______ | | / / ______ / / / ______ | | | | / / ______ / / / ______ | / / ______ / / / ______ |
/ / 73 \/ 1418 / / / 73 \/ 1418 | | / / 73 \/ 1418 / / / 73 \/ 1418 | | | | / / 73 \/ 1418 / / / 73 \/ 1418 | / / 73 \/ 1418 / / / 73 \/ 1418 |
/ 50*3 / ---- + -------- / / 50*3 / ---- + -------- | | / 50*3 / ---- + -------- / / 50*3 / ---- + -------- | | | | / 50*3 / ---- + -------- / / 50*3 / ---- + -------- | / 50*3 / ---- + -------- / / 50*3 / ---- + -------- |
1 \/ \/ 1000 500 \/ \/ \/ 1000 500 | | 1 \/ \/ 1000 500 \/ \/ \/ 1000 500 | | |4 | 1 \/ \/ 1000 500 \/ \/ \/ 1000 500 | \/ \/ 1000 500 \/ \/ \/ 1000 500 |
(- - + ----------------------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, |-2 + |- - + ----------------------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| |*|- + |- - + ----------------------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| + ----------------------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|)
5 2 2 \ \ 5 2 2 / / \5 \ 5 2 2 / 2 2 / / 3\ / 2 \
___________________________________________________________________________________________________________________________________________ | / ___________________________________________________________________________________________________________________________________________\ | | / ___________________________________________________________________________________________________________________________________________\ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________|
/ _________________ | | / _________________ | | | | / _________________ | / _________________ |
/ / ______ | | / / ______ | | | | / / ______ | / / ______ |
/ 12 / 73 \/ 1418 7 244 | | / 12 / 73 \/ 1418 7 244 | | | | / 12 / 73 \/ 1418 7 244 | / 12 / 73 \/ 1418 7 244 |
/ - -- - 2*3 / ---- + -------- + ------------------------- + --------------------------------------------------------------------------- | | / - -- - 2*3 / ---- + -------- + ------------------------- + --------------------------------------------------------------------------- | | | | / - -- - 2*3 / ---- + -------- + ------------------------- + --------------------------------------------------------------------------- | / - -- - 2*3 / ---- + -------- + ------------------------- + --------------------------------------------------------------------------- |
_____________________________________________________________ / 25 \/ 1000 500 _________________ _____________________________________________________________ | | _____________________________________________________________ / 25 \/ 1000 500 _________________ _____________________________________________________________ | | | | _____________________________________________________________ / 25 \/ 1000 500 _________________ _____________________________________________________________ | _____________________________________________________________ / 25 \/ 1000 500 _________________ _____________________________________________________________ |
/ _________________ / / ______ / _________________ | | / _________________ / / ______ / _________________ | | | | / _________________ / / ______ / _________________ | / _________________ / / ______ / _________________ |
/ / ______ / / 73 \/ 1418 / / ______ | | / / ______ / / 73 \/ 1418 / / ______ | | | | / / ______ / / 73 \/ 1418 / / ______ | / / ______ / / 73 \/ 1418 / / ______ |
/ 6 / 73 \/ 1418 7 / 50*3 / ---- + -------- / 6 / 73 \/ 1418 7 | | / 6 / 73 \/ 1418 7 / 50*3 / ---- + -------- / 6 / 73 \/ 1418 7 | | | | / 6 / 73 \/ 1418 7 / 50*3 / ---- + -------- / 6 / 73 \/ 1418 7 | / 6 / 73 \/ 1418 7 / 50*3 / ---- + -------- / 6 / 73 \/ 1418 7 |
/ - -- + 2*3 / ---- + -------- - ------------------------- / \/ 1000 500 125* / - -- + 2*3 / ---- + -------- - ------------------------- | | / - -- + 2*3 / ---- + -------- - ------------------------- / \/ 1000 500 125* / - -- + 2*3 / ---- + -------- - ------------------------- | | | | / - -- + 2*3 / ---- + -------- - ------------------------- / \/ 1000 500 125* / - -- + 2*3 / ---- + -------- - ------------------------- | / - -- + 2*3 / ---- + -------- - ------------------------- / \/ 1000 500 125* / - -- + 2*3 / ---- + -------- - ------------------------- |
/ 25 \/ 1000 500 _________________ / / 25 \/ 1000 500 _________________ | | / 25 \/ 1000 500 _________________ / / 25 \/ 1000 500 _________________ | | | | / 25 \/ 1000 500 _________________ / / 25 \/ 1000 500 _________________ | / 25 \/ 1000 500 _________________ / / 25 \/ 1000 500 _________________ |
/ / ______ / / / ______ | | / / ______ / / / ______ | | | | / / ______ / / / ______ | / / ______ / / / ______ |
/ / 73 \/ 1418 / / / 73 \/ 1418 | | / / 73 \/ 1418 / / / 73 \/ 1418 | | | | / / 73 \/ 1418 / / / 73 \/ 1418 | / / 73 \/ 1418 / / / 73 \/ 1418 |
/ 50*3 / ---- + -------- / / 50*3 / ---- + -------- | | / 50*3 / ---- + -------- / / 50*3 / ---- + -------- | | | | / 50*3 / ---- + -------- / / 50*3 / ---- + -------- | / 50*3 / ---- + -------- / / 50*3 / ---- + -------- |
1 \/ \/ 1000 500 \/ \/ \/ 1000 500 | | 1 \/ \/ 1000 500 \/ \/ \/ 1000 500 | | |4 | 1 \/ \/ 1000 500 \/ \/ \/ 1000 500 | \/ \/ 1000 500 \/ \/ \/ 1000 500 |
(- - + ----------------------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, |-2 + |- - + ----------------------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| |*|- + |- - + ----------------------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| + ----------------------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|)
5 2 2 \ \ 5 2 2 / / \5 \ 5 2 2 / 2 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}} - \frac{12}{25} + \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} + \frac{244}{125 \sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}} - \frac{12}{25} + \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} + \frac{244}{125 \sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}}}{2} - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}} - \frac{12}{25} + \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} + \frac{244}{125 \sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}}}{2} - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}} - \frac{12}{25} + \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} + \frac{244}{125 \sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}} - \frac{12}{25} + \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} + \frac{244}{125 \sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}}}{2} - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}{2}, - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}} - \frac{12}{25} + \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} + \frac{244}{125 \sqrt{- \frac{7}{50 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}} - \frac{6}{25} + 2 \sqrt[3]{\frac{73}{1000} + \frac{\sqrt{1418}}{500}}}}}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(x^{3} + 3 x^{2} \left(2 x + 1\right) + 3 x \left(x^{2} + x + 1\right) - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{5} - \frac{3}{50 \sqrt[3]{\frac{61}{500} + \frac{\sqrt{151}}{100}}} + \sqrt[3]{\frac{61}{500} + \frac{\sqrt{151}}{100}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{5} - \frac{3}{50 \sqrt[3]{\frac{61}{500} + \frac{\sqrt{151}}{100}}} + \sqrt[3]{\frac{61}{500} + \frac{\sqrt{151}}{100}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{5} - \frac{3}{50 \sqrt[3]{\frac{61}{500} + \frac{\sqrt{151}}{100}}} + \sqrt[3]{\frac{61}{500} + \frac{\sqrt{151}}{100}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(x^{3} + 3 x^{2} \left(2 x + 1\right) + 3 x \left(x^{2} + x + 1\right) - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{5} - \frac{3}{50 \sqrt[3]{\frac{61}{500} + \frac{\sqrt{151}}{100}}} + \sqrt[3]{\frac{61}{500} + \frac{\sqrt{151}}{100}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{5} - \frac{3}{50 \sqrt[3]{\frac{61}{500} + \frac{\sqrt{151}}{100}}} + \sqrt[3]{\frac{61}{500} + \frac{\sqrt{151}}{100}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{5} - \frac{3}{50 \sqrt[3]{\frac{61}{500} + \frac{\sqrt{151}}{100}}} + \sqrt[3]{\frac{61}{500} + \frac{\sqrt{151}}{100}}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{3} - 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{3} - 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{3} - 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{3} - 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 - 2)*(x^2 + x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{3} - 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right) = \left(- x^{3} - 2\right) \left(x^{2} - x + 1\right)$$
- No
$$\left(x^{3} - 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right) = - \left(- x^{3} - 2\right) \left(x^{2} - x + 1\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{3} - 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right) = \left(- x^{3} - 2\right) \left(x^{2} - x + 1\right)$$
- No
$$\left(x^{3} - 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right) = - \left(- x^{3} - 2\right) \left(x^{2} - x + 1\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico