Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(е^x)/x
-
y=2x^3-2x^2
-
x*((|x|))
-
(x+x^2)/(x-1)^2
-
Expresiones idénticas
- (cinco *x- quince)/(x^ tres - cinco *x+ seis)
- (5 multiplicar por x menos 15) dividir por (x al cubo menos 5 multiplicar por x más 6)
- (cinco multiplicar por x menos quince) dividir por (x en el grado tres menos cinco multiplicar por x más seis)
- (5*x-15)/(x3-5*x+6)
- 5*x-15/x3-5*x+6
- (5*x-15)/(x³-5*x+6)
- (5*x-15)/(x en el grado 3-5*x+6)
- (5x-15)/(x^3-5x+6)
- (5x-15)/(x3-5x+6)
- 5x-15/x3-5x+6
- 5x-15/x^3-5x+6
- (5*x-15) dividir por (x^3-5*x+6)
-
Expresiones semejantes
- (5*x-15)/(x^3+5*x+6)
- (5*x-15)/(x^3-5*x-6)
- (5*x+15)/(x^3-5*x+6)
Gráfico de la función y = (5*x-15)/(x^3-5*x+6)
Solución
Ha introducido
[src]
5*x - 15
f(x) = ------------
3
x - 5*x + 6
$$f{\left(x \right)} = \frac{5 x - 15}{\left(x^{3} - 5 x\right) + 6}$$
f = (5*x - 15)/(x^3 - 5*x + 6)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2.68909532363766$$
$$x_{1} = -2.68909532363766$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{5 x - 15}{\left(x^{3} - 5 x\right) + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{5 x - 15}{\left(x^{3} - 5 x\right) + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(5 - 3 x^{2}\right) \left(5 x - 15\right)}{\left(\left(x^{3} - 5 x\right) + 6\right)^{2}} + \frac{5}{\left(x^{3} - 5 x\right) + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{9}{8} + \frac{9 \sqrt{2} i}{4}}} + \sqrt[3]{\frac{9}{8} + \frac{9 \sqrt{2} i}{4}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{2} + 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{3} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} + 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} + 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(5 - 3 x^{2}\right) \left(5 x - 15\right)}{\left(\left(x^{3} - 5 x\right) + 6\right)^{2}} + \frac{5}{\left(x^{3} - 5 x\right) + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{9}{8} + \frac{9 \sqrt{2} i}{4}}} + \sqrt[3]{\frac{9}{8} + \frac{9 \sqrt{2} i}{4}}$$
Signos de extremos en los puntos:
_______________
/ ___
15 / 9 9*I*\/ 2 45
- -- + 5*3 / - + --------- + ----------------------
2 \/ 8 4 _______________
/ ___
_______________ / 9 9*I*\/ 2
/ ___ 4*3 / - + ---------
3 / 9 9*I*\/ 2 9 \/ 8 4
(- + 3 / - + --------- + ----------------------, ------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
2 \/ 8 4 _______________ 3
/ ___ / _______________ \ _______________
/ 9 9*I*\/ 2 | / ___ | / ___
4*3 / - + --------- 3 |3 / 9 9*I*\/ 2 9 | / 9 9*I*\/ 2 45
\/ 8 4 - - + |- + 3 / - + --------- + ----------------------| - 5*3 / - + --------- - ----------------------
2 |2 \/ 8 4 _______________| \/ 8 4 _______________
| / ___ | / ___
| / 9 9*I*\/ 2 | / 9 9*I*\/ 2
| 4*3 / - + --------- | 4*3 / - + ---------
\ \/ 8 4 / \/ 8 4 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{2} + 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{3} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} + 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} + 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{10 \left(3 x^{2} + \left(x - 3\right) \left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} - 5\right)^{2}}{x^{3} - 5 x + 6}\right) - 5\right)}{\left(x^{3} - 5 x + 6\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0.797250570028816$$
$$x_{2} = 1.5781915641069$$
$$x_{3} = 5.50695955985284$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2.68909532363766$$
$$\lim_{x \to -2.68909532363766^-}\left(- \frac{10 \left(3 x^{2} + \left(x - 3\right) \left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} - 5\right)^{2}}{x^{3} - 5 x + 6}\right) - 5\right)}{\left(x^{3} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2.68909532363766^+}\left(- \frac{10 \left(3 x^{2} + \left(x - 3\right) \left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} - 5\right)^{2}}{x^{3} - 5 x + 6}\right) - 5\right)}{\left(x^{3} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2.68909532363766$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0.797250570028816, 1.5781915641069\right] \cup \left[5.50695955985284, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.797250570028816\right] \cup \left[1.5781915641069, 5.50695955985284\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{10 \left(3 x^{2} + \left(x - 3\right) \left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} - 5\right)^{2}}{x^{3} - 5 x + 6}\right) - 5\right)}{\left(x^{3} - 5 x + 6\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0.797250570028816$$
$$x_{2} = 1.5781915641069$$
$$x_{3} = 5.50695955985284$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2.68909532363766$$
$$\lim_{x \to -2.68909532363766^-}\left(- \frac{10 \left(3 x^{2} + \left(x - 3\right) \left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} - 5\right)^{2}}{x^{3} - 5 x + 6}\right) - 5\right)}{\left(x^{3} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2.68909532363766^+}\left(- \frac{10 \left(3 x^{2} + \left(x - 3\right) \left(3 x - \frac{\left(3 x^{2} - 5\right)^{2}}{x^{3} - 5 x + 6}\right) - 5\right)}{\left(x^{3} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2.68909532363766$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0.797250570028816, 1.5781915641069\right] \cup \left[5.50695955985284, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.797250570028816\right] \cup \left[1.5781915641069, 5.50695955985284\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2.68909532363766$$
$$x_{1} = -2.68909532363766$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x - 15}{\left(x^{3} - 5 x\right) + 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x - 15}{\left(x^{3} - 5 x\right) + 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x - 15}{\left(x^{3} - 5 x\right) + 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x - 15}{\left(x^{3} - 5 x\right) + 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (5*x - 15)/(x^3 - 5*x + 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x - 15}{x \left(\left(x^{3} - 5 x\right) + 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x - 15}{x \left(\left(x^{3} - 5 x\right) + 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x - 15}{x \left(\left(x^{3} - 5 x\right) + 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x - 15}{x \left(\left(x^{3} - 5 x\right) + 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{5 x - 15}{\left(x^{3} - 5 x\right) + 6} = \frac{- 5 x - 15}{- x^{3} + 5 x + 6}$$
- No
$$\frac{5 x - 15}{\left(x^{3} - 5 x\right) + 6} = - \frac{- 5 x - 15}{- x^{3} + 5 x + 6}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{5 x - 15}{\left(x^{3} - 5 x\right) + 6} = \frac{- 5 x - 15}{- x^{3} + 5 x + 6}$$
- No
$$\frac{5 x - 15}{\left(x^{3} - 5 x\right) + 6} = - \frac{- 5 x - 15}{- x^{3} + 5 x + 6}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar