Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
e^3*x+10*e^2*x
-
Expresiones idénticas
- x^ dos -8x- nueve /(x- cuatro)^ dos
- x al cuadrado menos 8x menos 9 dividir por (x menos 4) al cuadrado
- x en el grado dos menos 8x menos nueve dividir por (x menos cuatro) en el grado dos
- x2-8x-9/(x-4)2
- x2-8x-9/x-42
- x²-8x-9/(x-4)²
- x en el grado 2-8x-9/(x-4) en el grado 2
- x^2-8x-9/x-4^2
- x^2-8x-9 dividir por (x-4)^2
-
Expresiones semejantes
- x^2+8x-9/(x-4)^2
- x^2-8x+9/(x-4)^2
- x^2-8x-9/(x+4)^2
Gráfico de la función y = x^2-8x-9/(x-4)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2 9
f(x) = x - 8*x - --------
2
(x - 4)
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 8 x\right) - \frac{9}{\left(x - 4\right)^{2}}$$
f = x^2 - 8*x - 9/(x - 4)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} - 8 x\right) - \frac{9}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 4 - \sqrt{8 + \sqrt{73}}$$
$$x_{2} = 4 + \sqrt{8 + \sqrt{73}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 8.0674320824468$$
$$x_{2} = -0.0674320824468023$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} - 8 x\right) - \frac{9}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 4 - \sqrt{8 + \sqrt{73}}$$
$$x_{2} = 4 + \sqrt{8 + \sqrt{73}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 8.0674320824468$$
$$x_{2} = -0.0674320824468023$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x - \frac{9 \left(8 - 2 x\right)}{\left(x - 4\right)^{4}} - 8 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x - \frac{9 \left(8 - 2 x\right)}{\left(x - 4\right)^{4}} - 8 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(1 - \frac{27}{\left(x - 4\right)^{4}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4 - 3^{\frac{3}{4}}$$
$$x_{2} = 3^{\frac{3}{4}} + 4$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 4$$
$$\lim_{x \to 4^-}\left(2 \left(1 - \frac{27}{\left(x - 4\right)^{4}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(2 \left(1 - \frac{27}{\left(x - 4\right)^{4}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 - 3^{\frac{3}{4}}\right] \cup \left[3^{\frac{3}{4}} + 4, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[4 - 3^{\frac{3}{4}}, 3^{\frac{3}{4}} + 4\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(1 - \frac{27}{\left(x - 4\right)^{4}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4 - 3^{\frac{3}{4}}$$
$$x_{2} = 3^{\frac{3}{4}} + 4$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 4$$
$$\lim_{x \to 4^-}\left(2 \left(1 - \frac{27}{\left(x - 4\right)^{4}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(2 \left(1 - \frac{27}{\left(x - 4\right)^{4}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 - 3^{\frac{3}{4}}\right] \cup \left[3^{\frac{3}{4}} + 4, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[4 - 3^{\frac{3}{4}}, 3^{\frac{3}{4}} + 4\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 8 x\right) - \frac{9}{\left(x - 4\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 8 x\right) - \frac{9}{\left(x - 4\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 8 x\right) - \frac{9}{\left(x - 4\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 8 x\right) - \frac{9}{\left(x - 4\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 - 8*x - 9/(x - 4)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 8 x\right) - \frac{9}{\left(x - 4\right)^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 8 x\right) - \frac{9}{\left(x - 4\right)^{2}}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 8 x\right) - \frac{9}{\left(x - 4\right)^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 8 x\right) - \frac{9}{\left(x - 4\right)^{2}}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} - 8 x\right) - \frac{9}{\left(x - 4\right)^{2}} = x^{2} + 8 x - \frac{9}{\left(- x - 4\right)^{2}}$$
- No
$$\left(x^{2} - 8 x\right) - \frac{9}{\left(x - 4\right)^{2}} = - x^{2} - 8 x + \frac{9}{\left(- x - 4\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} - 8 x\right) - \frac{9}{\left(x - 4\right)^{2}} = x^{2} + 8 x - \frac{9}{\left(- x - 4\right)^{2}}$$
- No
$$\left(x^{2} - 8 x\right) - \frac{9}{\left(x - 4\right)^{2}} = - x^{2} - 8 x + \frac{9}{\left(- x - 4\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico