Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x^4/(1+x)^3 x^4/(1+x)^3
  • x/2 x/2
  • -x+1 -x+1
  • 2*x+1 2*x+1

  • Expresiones idénticas

  • (8x+ seis - doce)^3sqrt((x+ dos)^ dos)
  • (8x más 6 menos 12) al cubo raíz cuadrada de ((x más 2) al cuadrado )
  • (8x más seis menos doce) al cubo raíz cuadrada de ((x más dos) en el grado dos)
  • (8x+6-12)^3√((x+2)^2)
  • (8x+6-12)3sqrt((x+2)2)
  • 8x+6-123sqrtx+22
  • (8x+6-12)³sqrt((x+2)²)
  • (8x+6-12) en el grado 3sqrt((x+2) en el grado 2)
  • 8x+6-12^3sqrtx+2^2

  • Expresiones semejantes

  • (8x+6+12)^3sqrt((x+2)^2)
  • (8x+6-12)^3sqrt((x-2)^2)
  • (8x-6-12)^3sqrt((x+2)^2)
Trazado el gráfico de la función/ (8x+6-12)^3sqrt((x+2)^2)

Gráfico de la función y = (8x+6-12)^3sqrt((x+2)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                          __________
                     3   /        2 
f(x) = (8*x + 6 - 12) *\/  (x + 2)
$$f{\left(x \right)} = \left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \sqrt{\left(x + 2\right)^{2}}$$ 
f = (8*x + 6 - 12)^3*sqrt((x + 2)^2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \sqrt{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = \frac{3}{4}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0.75$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (8*x + 6 - 12)^3*sqrt((x + 2)^2).
$$\left(-12 + \left(0 \cdot 8 + 6\right)\right)^{3} \sqrt{2^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -432$$
Punto:
(0, -432)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \left|{x + 2}\right|}{\left(x + 2\right)^{2}} + 24 \left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{2} \left|{x + 2}\right| = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{21}{16}$$
$$x_{2} = \frac{3}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
 -21   -395307  
(----, --------)
  16     128    

(3/4, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{21}{16}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{21}{16}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{21}{16}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$8 \left(4 x - 3\right) \left(96 \left|{x + 2}\right| + \frac{\left(4 x - 3\right)^{2} \left(\operatorname{sign}{\left(x + 2 \right)} - \frac{\left|{x + 2}\right|}{x + 2}\right)}{x + 2} + \frac{24 \left(4 x - 3\right) \left|{x + 2}\right|}{x + 2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5}{8}$$
$$x_{2} = \frac{3}{4}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5}{8}\right] \cup \left[\frac{3}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{5}{8}, \frac{3}{4}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \sqrt{\left(x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \sqrt{\left(x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (8*x + 6 - 12)^3*sqrt((x + 2)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \left|{x + 2}\right|}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \left|{x + 2}\right|}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \sqrt{\left(x + 2\right)^{2}} = \left(- 8 x - 6\right)^{3} \left|{x - 2}\right|$$
- No
$$\left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \sqrt{\left(x + 2\right)^{2}} = - \left(- 8 x - 6\right)^{3} \left|{x - 2}\right|$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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