Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (8x+6-12)^3sqrt((x+2)^2)

Gráfico de la función y = (8x+6-12)^3sqrt((x+2)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                          __________
                     3   /        2 
f(x) = (8*x + 6 - 12) *\/  (x + 2)
f(x)=((8x+6)−12)3(x+2)2f{\left(x \right)} = \left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \sqrt{\left(x + 2\right)^{2}} 
f = (8*x + 6 - 12)^3*sqrt((x + 2)^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000000010000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((8x+6)−12)3(x+2)2=0\left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \sqrt{\left(x + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=34x_{2} = \frac{3}{4}
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
x2=0.75x_{2} = 0.75
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (8*x + 6 - 12)^3*sqrt((x + 2)^2).
(−12+(0⋅8+6))322\left(-12 + \left(0 \cdot 8 + 6\right)\right)^{3} \sqrt{2^{2}}
Resultado:
f(0)=−432f{\left(0 \right)} = -432
Punto:
(0, -432)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x+2)((8x+6)−12)3∣x+2∣(x+2)2+24((8x+6)−12)2∣x+2∣=0\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \left|{x + 2}\right|}{\left(x + 2\right)^{2}} + 24 \left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{2} \left|{x + 2}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2116x_{1} = - \frac{21}{16}
x2=34x_{2} = \frac{3}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -21   -395307  
(----, --------)
  16     128    

(3/4, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2116x_{1} = - \frac{21}{16}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−2116,∞)\left[- \frac{21}{16}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2116]\left(-\infty, - \frac{21}{16}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8(4x−3)(96∣x+2∣+(4x−3)2(sign⁡(x+2)−∣x+2∣x+2)x+2+24(4x−3)∣x+2∣x+2)=08 \left(4 x - 3\right) \left(96 \left|{x + 2}\right| + \frac{\left(4 x - 3\right)^{2} \left(\operatorname{sign}{\left(x + 2 \right)} - \frac{\left|{x + 2}\right|}{x + 2}\right)}{x + 2} + \frac{24 \left(4 x - 3\right) \left|{x + 2}\right|}{x + 2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−58x_{1} = - \frac{5}{8}
x2=34x_{2} = \frac{3}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−58]∪[34,∞)\left(-\infty, - \frac{5}{8}\right] \cup \left[\frac{3}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−58,34]\left[- \frac{5}{8}, \frac{3}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((8x+6)−12)3(x+2)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \sqrt{\left(x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(((8x+6)−12)3(x+2)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \sqrt{\left(x + 2\right)^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (8*x + 6 - 12)^3*sqrt((x + 2)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((8x+6)−12)3∣x+2∣x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \left|{x + 2}\right|}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(((8x+6)−12)3∣x+2∣x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \left|{x + 2}\right|}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((8x+6)−12)3(x+2)2=(−8x−6)3∣x−2∣\left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \sqrt{\left(x + 2\right)^{2}} = \left(- 8 x - 6\right)^{3} \left|{x - 2}\right|
- No
((8x+6)−12)3(x+2)2=−(−8x−6)3∣x−2∣\left(\left(8 x + 6\right) - 12\right)^{3} \sqrt{\left(x + 2\right)^{2}} = - \left(- 8 x - 6\right)^{3} \left|{x - 2}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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