Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x^3-6x^2-7x+15sin2x

Gráfico de la función y = x^3-6x^2-7x+15sin2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2                    
f(x) = x  - 6*x  - 7*x + 15*sin(2*x)
f(x)=(−7x+(x3−6x2))+15sin⁡(2x)f{\left(x \right)} = \left(- 7 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 15 \sin{\left(2 x \right)} 
f = -7*x + x^3 - 6*x^2 + 15*sin(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−7x+(x3−6x2))+15sin⁡(2x)=0\left(- 7 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 15 \sin{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=6.76538635446548x_{1} = 6.76538635446548
x2=0x_{2} = 0
x3=1.05445942320587x_{3} = 1.05445942320587
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 6*x^2 - 7*x + 15*sin(2*x).
((03−6⋅02)−0)+15sin⁡(0⋅2)\left(\left(0^{3} - 6 \cdot 0^{2}\right) - 0\right) + 15 \sin{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−12x+30cos⁡(2x)−7=03 x^{2} - 12 x + 30 \cos{\left(2 x \right)} - 7 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.88579559605947x_{1} = -0.88579559605947
x2=2.67070236258673x_{2} = 2.67070236258673
x3=3.76275106443497x_{3} = 3.76275106443497
x4=5.27164031651674x_{4} = 5.27164031651674
x5=−1.8495534756903x_{5} = -1.8495534756903
x6=0.564641610134347x_{6} = 0.564641610134347
Signos de extremos en los puntos:
(-0.8857955960594703, -13.9008843471048)

(2.670702362586733, -54.570739809922)

(3.7627510644349726, -43.8168798180032)

(5.271640316516741, -70.6344435028178)

(-1.8495534756903025, -5.96907741746199)

(0.5646416101343468, 7.87619900290725)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−0.88579559605947x_{1} = -0.88579559605947
x2=2.67070236258673x_{2} = 2.67070236258673
x3=5.27164031651674x_{3} = 5.27164031651674
Puntos máximos de la función:
x3=3.76275106443497x_{3} = 3.76275106443497
x3=−1.8495534756903x_{3} = -1.8495534756903
x3=0.564641610134347x_{3} = 0.564641610134347
Decrece en los intervalos
[5.27164031651674,∞)\left[5.27164031651674, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−0.88579559605947]\left(-\infty, -0.88579559605947\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(x−10sin⁡(2x)−2)=06 \left(x - 10 \sin{\left(2 x \right)} - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−6.82361377074217x_{1} = -6.82361377074217
x2=6.51755113957485x_{2} = 6.51755113957485
x3=−0.106099427725134x_{3} = -0.106099427725134
x4=−1.39747226468461x_{4} = -1.39747226468461
x5=7.55924429795236x_{5} = 7.55924429795236
x6=−7.26189284295418x_{6} = -7.26189284295418
x7=−3.4285065151611x_{7} = -3.4285065151611
x8=4.58181906459876x_{8} = 4.58181906459876
x9=3.20182974918363x_{9} = 3.20182974918363
x10=−4.36726615785677x_{10} = -4.36726615785677
x11=9.87842711750718x_{11} = 9.87842711750718
x12=1.59124002146731x_{12} = 1.59124002146731
x13=10.4886564587263x_{13} = 10.4886564587263

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[10.4886564587263,∞)\left[10.4886564587263, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−7.26189284295418]\left(-\infty, -7.26189284295418\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−7x+(x3−6x2))+15sin⁡(2x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 7 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 15 \sin{\left(2 x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−7x+(x3−6x2))+15sin⁡(2x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 7 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 15 \sin{\left(2 x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 6*x^2 - 7*x + 15*sin(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−7x+(x3−6x2))+15sin⁡(2x)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 7 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 15 \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−7x+(x3−6x2))+15sin⁡(2x)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 7 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 15 \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−7x+(x3−6x2))+15sin⁡(2x)=−x3−6x2+7x−15sin⁡(2x)\left(- 7 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 15 \sin{\left(2 x \right)} = - x^{3} - 6 x^{2} + 7 x - 15 \sin{\left(2 x \right)}
- No
(−7x+(x3−6x2))+15sin⁡(2x)=x3+6x2−7x+15sin⁡(2x)\left(- 7 x + \left(x^{3} - 6 x^{2}\right)\right) + 15 \sin{\left(2 x \right)} = x^{3} + 6 x^{2} - 7 x + 15 \sin{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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