Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
7-x-2*x^2
-
y=x^3
-
(3*x-4)^40/(x^2-2)^36
-
y=x^2-x
-
Expresiones idénticas
- y=(x^ dos - dos)^ dos -(tres -x^ dos)
- y es igual a (x al cuadrado menos 2) al cuadrado menos (3 menos x al cuadrado )
- y es igual a (x en el grado dos menos dos) en el grado dos menos (tres menos x en el grado dos)
- y=(x2-2)2-(3-x2)
- y=x2-22-3-x2
- y=(x²-2)²-(3-x²)
- y=(x en el grado 2-2) en el grado 2-(3-x en el grado 2)
- y=x^2-2^2-3-x^2
-
Expresiones semejantes
- y=(x^2-2)^2-(3+x^2)
- y=(x^2-2)^2+(3-x^2)
- y=(x^2+2)^2-(3-x^2)
Gráfico de la función y = y=(x^2-2)^2-(3-x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
/ 2 \ 2
f(x) = \x - 2/ + -3 + x
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 3\right) + \left(x^{2} - 2\right)^{2}$$
f = x^2 - 3 + (x^2 - 2)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} - 3\right) + \left(x^{2} - 2\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.618033988749895$$
$$x_{2} = 0.618033988749895$$
$$x_{3} = 1.61803398874989$$
$$x_{4} = -1.61803398874989$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} - 3\right) + \left(x^{2} - 2\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.618033988749895$$
$$x_{2} = 0.618033988749895$$
$$x_{3} = 1.61803398874989$$
$$x_{4} = -1.61803398874989$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x \left(x^{2} - 2\right) + 2 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{6}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{6}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x \left(x^{2} - 2\right) + 2 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
___
-\/ 6
(-------, -5/4)
2 ___ \/ 6 (-----, -5/4) 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{6}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{6}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(2 x^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(2 x^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 3\right) + \left(x^{2} - 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 3\right) + \left(x^{2} - 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 3\right) + \left(x^{2} - 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 3\right) + \left(x^{2} - 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 2)^2 - 3 + x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3\right) + \left(x^{2} - 2\right)^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3\right) + \left(x^{2} - 2\right)^{2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3\right) + \left(x^{2} - 2\right)^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3\right) + \left(x^{2} - 2\right)^{2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} - 3\right) + \left(x^{2} - 2\right)^{2} = \left(x^{2} - 3\right) + \left(x^{2} - 2\right)^{2}$$
- Sí
$$\left(x^{2} - 3\right) + \left(x^{2} - 2\right)^{2} = \left(3 - x^{2}\right) - \left(x^{2} - 2\right)^{2}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} - 3\right) + \left(x^{2} - 2\right)^{2} = \left(x^{2} - 3\right) + \left(x^{2} - 2\right)^{2}$$
- Sí
$$\left(x^{2} - 3\right) + \left(x^{2} - 2\right)^{2} = \left(3 - x^{2}\right) - \left(x^{2} - 2\right)^{2}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico