Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=x^2+2x
-
y=(x^(2)+8)/(x+1)
-
y=cbrt(x)
-
y=arcsinx
-
Expresiones idénticas
- x/cbrt(x^ dos - uno)
- x dividir por raíz cúbica de (x al cuadrado menos 1)
- x dividir por raíz cúbica de (x en el grado dos menos uno)
- x/cbrt(x2-1)
- x/cbrtx2-1
- x/cbrt(x²-1)
- x/cbrt(x en el grado 2-1)
- x/cbrtx^2-1
- x dividir por cbrt(x^2-1)
-
Expresiones semejantes
- x/cbrt(x^2+1)
Gráfico de la función y = x/cbrt(x^2-1)
Solución
Ha introducido
[src]
x
f(x) = -----------
________
3 / 2
\/ x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}$$
f = x/(x^2 - 1)^(1/3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x^{2}}{3 \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = - \sqrt{1 + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{1 + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = - \sqrt{1 + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{1 + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cap \left(-\infty, - \sqrt{1 + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}\right] \cap \left(-\infty, - \sqrt{1 + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3}, \infty\right) \cap \left[- \sqrt{1 + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}, \infty\right) \cap \left[- \sqrt{1 + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x^{2}}{3 \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = - \sqrt{1 + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{1 + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}$$
Signos de extremos en los puntos:
2/3 ___
___ -2 *\/ 3
(-\/ 3, ------------)
2 ________________________________
/ 3
________________________________ / / 3 ___ 3 ___ ___\
/ 3 / | \/ 2 I*\/ 2 *\/ 3 |
/ / 3 ___ 3 ___ ___\ - / 1 + |- ----- - -------------|
/ | \/ 2 I*\/ 2 *\/ 3 | \/ \ 2 2 /
(- / 1 + |- ----- - -------------| , ----------------------------------------)
\/ \ 2 2 / ____________________________
/ 3
/ / 3 ___ 3 ___ ___\
/ | \/ 2 I*\/ 2 *\/ 3 |
3 / |- ----- - -------------|
\/ \ 2 2 / ________________________________
/ 3
________________________________ / / 3 ___ 3 ___ ___\
/ 3 / | \/ 2 I*\/ 2 *\/ 3 |
/ / 3 ___ 3 ___ ___\ - / 1 + |- ----- + -------------|
/ | \/ 2 I*\/ 2 *\/ 3 | \/ \ 2 2 /
(- / 1 + |- ----- + -------------| , ----------------------------------------)
\/ \ 2 2 / ____________________________
/ 3
/ / 3 ___ 3 ___ ___\
/ | \/ 2 I*\/ 2 *\/ 3 |
3 / |- ----- + -------------|
\/ \ 2 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = - \sqrt{1 + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{1 + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cap \left(-\infty, - \sqrt{1 + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}\right] \cap \left(-\infty, - \sqrt{1 + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3}, \infty\right) \cap \left[- \sqrt{1 + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}, \infty\right) \cap \left[- \sqrt{1 + \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{4}{3}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = \infty \left(-0.5 + 0.866025403784438 i\right)$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = \infty \left(0.5 - 0.866025403784438 i\right)$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{4}{3}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = \infty \left(-0.5 + 0.866025403784438 i\right)$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = \infty \left(0.5 - 0.866025403784438 i\right)$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} - 9\right)}{9 \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(x^2 - 1)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}} = - \frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}$$
- No
$$\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}} = \frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}} = - \frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}$$
- No
$$\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}} = \frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico