Gráfico de la función y = (x²+4x+4)/(x+2)+x-1

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       x  + 4*x + 4        
f(x) = ------------ + x - 1
          x + 2

f{\left(x \right)} = \left(x + \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x + 2}\right) - 1

f = x + (x^2 + 4*x + 4)/(x + 2) - 1

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:

x_{1} = -2

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

\left(x + \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x + 2}\right) - 1 = 0

Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica

x_{1} = - \frac{1}{2}

Solución numérica

x_{1} = -0.5

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + 4*x + 4)/(x + 2) + x - 1.

-1 + \frac{\left(0^{2} + 0 \cdot 4\right) + 4}{2}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = 1

Punto:

(0, 1)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

1 + \frac{2 x + 4}{x + 2} - \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

\frac{2 \left(-1 + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{x + 2} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas verticales

Hay:

x_{1} = -2

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x + 2}\right) - 1\right) = -\infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda

\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x + 2}\right) - 1\right) = \infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 4*x + 4)/(x + 2) + x - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x + 2}\right) - 1}{x}\right) = 2

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:

y = 2 x

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x + 2}\right) - 1}{x}\right) = 2

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:

y = 2 x

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

\left(x + \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x + 2}\right) - 1 = - x - 1 + \frac{x^{2} - 4 x + 4}{2 - x}

- No

\left(x + \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x + 2}\right) - 1 = x + 1 - \frac{x^{2} - 4 x + 4}{2 - x}

- No
es decir, función
no es
par ni impar