Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctgcox

Gráfico de la función y = arctgcox

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = atan(cos(x))
f(x)=atan⁡(cos⁡(x))f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} 
f = atan(cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(cos⁡(x))=0\operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=−1.5707963267949x_{1} = -1.5707963267949
x2=−64.4026493985908x_{2} = -64.4026493985908
x3=76.9690200129499x_{3} = 76.9690200129499
x4=−23.5619449019235x_{4} = -23.5619449019235
x5=−58.1194640914112x_{5} = -58.1194640914112
x6=61.261056745001x_{6} = 61.261056745001
x7=80.1106126665397x_{7} = 80.1106126665397
x8=−48.6946861306418x_{8} = -48.6946861306418
x9=−29.845130209103x_{9} = -29.845130209103
x10=−4.71238898038469x_{10} = -4.71238898038469
x11=−86.3937979737193x_{11} = -86.3937979737193
x12=−36.1283155162826x_{12} = -36.1283155162826
x13=−98.9601685880785x_{13} = -98.9601685880785
x14=1.5707963267949x_{14} = 1.5707963267949
x15=−39.2699081698724x_{15} = -39.2699081698724
x16=73.8274273593601x_{16} = 73.8274273593601
x17=−92.6769832808989x_{17} = -92.6769832808989
x18=42.4115008234622x_{18} = 42.4115008234622
x19=67.5442420521806x_{19} = 67.5442420521806
x20=−32.9867228626928x_{20} = -32.9867228626928
x21=14.1371669411541x_{21} = 14.1371669411541
x22=4.71238898038469x_{22} = 4.71238898038469
x23=32.9867228626928x_{23} = 32.9867228626928
x24=−10.9955742875643x_{24} = -10.9955742875643
x25=70.6858347057703x_{25} = 70.6858347057703
x26=36.1283155162826x_{26} = 36.1283155162826
x27=20.4203522483337x_{27} = 20.4203522483337
x28=−70.6858347057703x_{28} = -70.6858347057703
x29=−26.7035375555132x_{29} = -26.7035375555132
x30=10.9955742875643x_{30} = 10.9955742875643
x31=105.243353895258x_{31} = 105.243353895258
x32=23.5619449019235x_{32} = 23.5619449019235
x33=45.553093477052x_{33} = 45.553093477052
x34=83.2522053201295x_{34} = 83.2522053201295
x35=−67.5442420521806x_{35} = -67.5442420521806
x36=−89.5353906273091x_{36} = -89.5353906273091
x37=−54.9778714378214x_{37} = -54.9778714378214
x38=95.8185759344887x_{38} = 95.8185759344887
x39=−17.2787595947439x_{39} = -17.2787595947439
x40=26.7035375555132x_{40} = 26.7035375555132
x41=17.2787595947439x_{41} = 17.2787595947439
x42=−42.4115008234622x_{42} = -42.4115008234622
x43=54.9778714378214x_{43} = 54.9778714378214
x44=−7.85398163397448x_{44} = -7.85398163397448
x45=48.6946861306418x_{45} = 48.6946861306418
x46=−51.8362787842316x_{46} = -51.8362787842316
x47=89.5353906273091x_{47} = 89.5353906273091
x48=92.6769832808989x_{48} = 92.6769832808989
x49=58.1194640914112x_{49} = 58.1194640914112
x50=−80.1106126665397x_{50} = -80.1106126665397
x51=−73.8274273593601x_{51} = -73.8274273593601
x52=86.3937979737193x_{52} = 86.3937979737193
x53=−76.9690200129499x_{53} = -76.9690200129499
x54=51.8362787842316x_{54} = 51.8362787842316
x55=39.2699081698724x_{55} = 39.2699081698724
x56=−20.4203522483337x_{56} = -20.4203522483337
x57=64.4026493985908x_{57} = 64.4026493985908
x58=−83.2522053201295x_{58} = -83.2522053201295
x59=98.9601685880785x_{59} = 98.9601685880785
x60=7.85398163397448x_{60} = 7.85398163397448
x61=−95.8185759344887x_{61} = -95.8185759344887
x62=−14.1371669411541x_{62} = -14.1371669411541
x63=29.845130209103x_{63} = 29.845130209103
x64=−45.553093477052x_{64} = -45.553093477052
x65=−61.261056745001x_{65} = -61.261056745001
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(cos(x)).
atan⁡(cos⁡(0))\operatorname{atan}{\left(\cos{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=π4f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{4}
Punto:
(0, pi/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)cos⁡2(x)+1=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
    pi 
(0, --)
    4  

     -pi  
(pi, ----)
      4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(1+2sin⁡2(x)cos⁡2(x)+1)cos⁡(x)cos⁡2(x)+1=0- \frac{\left(1 + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(cos⁡(x))=atan⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=atan⁡(⟨−1,1⟩)y = \operatorname{atan}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞atan⁡(cos⁡(x))=atan⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=atan⁡(⟨−1,1⟩)y = \operatorname{atan}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(cos⁡(x))=atan⁡(cos⁡(x))\operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}
- Sí
atan⁡(cos⁡(x))=−atan⁡(cos⁡(x))\operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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