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Trazado el gráfico de la función/ 5-2cos^2x

Gráfico de la función y = 5-2cos^2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                2   
f(x) = 5 - 2*cos (x)
f(x)=5−2cos⁡2(x)f{\left(x \right)} = 5 - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} 
f = 5 - 2*cos(x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101026
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
5−2cos⁡2(x)=05 - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 5 - 2*cos(x)^2.
5−2cos⁡2(0)5 - 2 \cos^{2}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4sin⁡(x)cos⁡(x)=04 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 3)

 -pi     
(----, 5)
  2      

 pi    
(--, 5)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(−sin⁡2(x)+cos⁡2(x))=04 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(5−2cos⁡2(x))=⟨3,5⟩\lim_{x \to -\infty}\left(5 - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 3, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨3,5⟩y = \left\langle 3, 5\right\rangle
lim⁡x→∞(5−2cos⁡2(x))=⟨3,5⟩\lim_{x \to \infty}\left(5 - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 3, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨3,5⟩y = \left\langle 3, 5\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 5 - 2*cos(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(5−2cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(5−2cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
5−2cos⁡2(x)=5−2cos⁡2(x)5 - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 5 - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}
- Sí
5−2cos⁡2(x)=2cos⁡2(x)−55 - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 5
- No
es decir, función
es
par
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