Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2 x - 5}} \left(2 + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2 x - 5}\right) \log{\left(3 \right)}}{\left(2 x - 5\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\log{\left(3 \right)}}{4}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2.5$$
$$\lim_{x \to 2.5^-}\left(\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2 x - 5}} \left(2 + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2 x - 5}\right) \log{\left(3 \right)}}{\left(2 x - 5\right)^{3}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 2.5^+}\left(\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2 x - 5}} \left(2 + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2 x - 5}\right) \log{\left(3 \right)}}{\left(2 x - 5\right)^{3}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 2.5$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2} - \frac{\log{\left(3 \right)}}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\log{\left(3 \right)}}{4}\right]$$