Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2-4*x)

Gráfico de la función y = sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2-4*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ________      __________
         /      2      /  2       
f(x) = \/  1 + x   - \/  x  - 4*x
f(x)=x2+1−x2−4xf{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x} 
f = sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x^2 - 4*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+1−x2−4x=0\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−14x_{1} = - \frac{1}{4}
Solución numérica
x1=1.32386304316494⋅1028x_{1} = 1.32386304316494 \cdot 10^{28}
x2=−4.25270640622028⋅1027x_{2} = -4.25270640622028 \cdot 10^{27}
x3=5.71947907060091⋅1031x_{3} = 5.71947907060091 \cdot 10^{31}
x4=6.67183799411163⋅1029x_{4} = 6.67183799411163 \cdot 10^{29}
x5=6.97740390401123⋅1035x_{5} = 6.97740390401123 \cdot 10^{35}
x6=5.36101438302761⋅1028x_{6} = 5.36101438302761 \cdot 10^{28}
x7=−1.27265444890115⋅1032x_{7} = -1.27265444890115 \cdot 10^{32}
x8=2.54656849698026⋅1033x_{8} = 2.54656849698026 \cdot 10^{33}
x9=2.52930830041805⋅1034x_{9} = 2.52930830041805 \cdot 10^{34}
x10=1.00208592515613⋅1029x_{10} = 1.00208592515613 \cdot 10^{29}
x11=−5.4283805577913⋅1032x_{11} = -5.4283805577913 \cdot 10^{32}
x12=2.00302647676824⋅1035x_{12} = 2.00302647676824 \cdot 10^{35}
x13=4.08293412837277⋅1032x_{13} = 4.08293412837277 \cdot 10^{32}
x14=5.68354483214341⋅1034x_{14} = 5.68354483214341 \cdot 10^{34}
x15=9.64902939410428⋅1034x_{15} = 9.64902939410428 \cdot 10^{34}
x16=4.88113871397253⋅1034x_{16} = 4.88113871397253 \cdot 10^{34}
x17=1.50475202882687⋅1031x_{17} = 1.50475202882687 \cdot 10^{31}
x18=4.93384551165909⋅1033x_{18} = 4.93384551165909 \cdot 10^{33}
x19=1.89997217632364⋅1028x_{19} = 1.89997217632364 \cdot 10^{28}
x20=8.23927853425646⋅1032x_{20} = 8.23927853425646 \cdot 10^{32}
x21=−0.25x_{21} = -0.25
x22=2.30502650456038⋅1035x_{22} = 2.30502650456038 \cdot 10^{35}
x23=6.26585304724091⋅1027x_{23} = 6.26585304724091 \cdot 10^{27}
x24=1.03280808188027⋅1033x_{24} = 1.03280808188027 \cdot 10^{33}
x25=6.80182888468284⋅1030x_{25} = 6.80182888468284 \cdot 10^{30}
x26=2.19632246866518⋅1028x_{26} = 2.19632246866518 \cdot 10^{28}
x27=8.14133924435811⋅1035x_{27} = 8.14133924435811 \cdot 10^{35}
x28=4.45273552747027⋅1031x_{28} = 4.45273552747027 \cdot 10^{31}
x29=1.49312370474646⋅1034x_{29} = 1.49312370474646 \cdot 10^{34}
x30=1.4262079213946⋅1030x_{30} = 1.4262079213946 \cdot 10^{30}
x31=2.70510362270722⋅1028x_{31} = 2.70510362270722 \cdot 10^{28}
x32=3.33713979442366⋅1032x_{32} = 3.33713979442366 \cdot 10^{32}
x33=1.15847201506686⋅1034x_{33} = 1.15847201506686 \cdot 10^{34}
x34=8.52815128185351⋅1032x_{34} = 8.52815128185351 \cdot 10^{32}
x35=2.85869938242888⋅1027x_{35} = 2.85869938242888 \cdot 10^{27}
x36=5.19667968132164⋅1028x_{36} = 5.19667968132164 \cdot 10^{28}
x37=−3.92096782523399⋅1030x_{37} = -3.92096782523399 \cdot 10^{30}
x38=1.41583553877146⋅1030x_{38} = 1.41583553877146 \cdot 10^{30}
x39=9.14768535620348⋅1027x_{39} = 9.14768535620348 \cdot 10^{27}
x40=1.03305049441405⋅1029x_{40} = 1.03305049441405 \cdot 10^{29}
x41=6.66891621476709⋅1034x_{41} = 6.66891621476709 \cdot 10^{34}
x42=3.14658278101871⋅1035x_{42} = 3.14658278101871 \cdot 10^{35}
x43=2.09996086289335⋅1033x_{43} = 2.09996086289335 \cdot 10^{33}
x44=7.46698610408892⋅1028x_{44} = 7.46698610408892 \cdot 10^{28}
x45=1.25017399224369⋅1032x_{45} = 1.25017399224369 \cdot 10^{32}
x46=3.94318416026691⋅1029x_{46} = 3.94318416026691 \cdot 10^{29}
x47=4.7888256671519⋅1030x_{47} = 4.7888256671519 \cdot 10^{30}
x48=2.3130910579575⋅1028x_{48} = 2.3130910579575 \cdot 10^{28}
x49=−3.05212168746698⋅1027x_{49} = -3.05212168746698 \cdot 10^{27}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(1 + x^2) - sqrt(x^2 - 4*x).
−02−0+02+1- \sqrt{0^{2} - 0} + \sqrt{0^{2} + 1}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xx2+1−x−2x2−4x=0\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} - 4 x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x2(x2+1)32+1x2+1−1x(x−4)+(x−2)2(x(x−4))32=0- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x \left(x - 4\right)}} + \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(x \left(x - 4\right)\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+1−x2−4x)=−2\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) = -2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−2y = -2
lim⁡x→∞(x2+1−x2−4x)=2\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=2y = 2
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(1 + x^2) - sqrt(x^2 - 4*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+1−x2−4xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x2+1−x2−4xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+1−x2−4x=x2+1−x2+4x\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x} = \sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 4 x}
- No
x2+1−x2−4x=−x2+1+x2+4x\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x} = - \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 4 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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