Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
(x+1)*(x-2)^2
-
Expresiones idénticas
- y= uno / cuatro - uno / dos sin^2x/2
- y es igual a 1 dividir por 4 menos 1 dividir por 2 seno de al cuadrado x dividir por 2
- y es igual a uno dividir por cuatro menos uno dividir por dos seno de al cuadrado x dividir por 2
- y=1/4-1/2sin2x/2
- y=1/4-1/2sin²x/2
- y=1/4-1/2sin en el grado 2x/2
- y=1 dividir por 4-1 dividir por 2sin^2x dividir por 2
-
Expresiones semejantes
- y=1/4+1/2sin^2x/2
Gráfico de la función y = y=1/4-1/2sin^2x/2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|sin (x)|
|-------|
1 \ 2 /
f(x) = - - ---------
4 2
$$f{\left(x \right)} = - \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$$
f = -sin(x)^2/2/2 + 1/4
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -98.96016883042$$
$$x_{2} = -7.85398149857354$$
$$x_{3} = 83.2522055730903$$
$$x_{4} = -17.2787590276524$$
$$x_{5} = -64.4026491876462$$
$$x_{6} = -86.393797765473$$
$$x_{7} = -10.9955741902138$$
$$x_{8} = -39.2699083866483$$
$$x_{9} = 64.4026493086922$$
$$x_{10} = -29.8451300963672$$
$$x_{11} = -98.960168684456$$
$$x_{12} = -48.6946860920117$$
$$x_{13} = 98.9601683381274$$
$$x_{14} = 76.9690197631883$$
$$x_{15} = -45.5530935883361$$
$$x_{16} = 67.5442422779275$$
$$x_{17} = 39.2699084246933$$
$$x_{18} = 80.1106126771746$$
$$x_{19} = 70.6858345016621$$
$$x_{20} = 61.2610566752601$$
$$x_{21} = 32.986722928111$$
$$x_{22} = -48.6946858738636$$
$$x_{23} = 86.393797888273$$
$$x_{24} = -10.9955745350309$$
$$x_{25} = 73.8274274795554$$
$$x_{26} = -67.5442421675773$$
$$x_{27} = -17.2787598091171$$
$$x_{28} = -76.9690202568697$$
$$x_{29} = 45.553093700501$$
$$x_{30} = 17.2787598502655$$
$$x_{31} = 10.9955740392793$$
$$x_{32} = -4.71238872430683$$
$$x_{33} = 4.71238876848081$$
$$x_{34} = -39.2699081528781$$
$$x_{35} = 7.85398174058521$$
$$x_{36} = 83.2522052340866$$
$$x_{37} = -54.9778713137198$$
$$x_{38} = -58.1194639993376$$
$$x_{39} = -26.7035372990183$$
$$x_{40} = 29.845130320338$$
$$x_{41} = -20.4203520321877$$
$$x_{42} = -36.1283154192437$$
$$x_{43} = 80.1106131434937$$
$$x_{44} = 541.924732890135$$
$$x_{45} = 39.2699081179815$$
$$x_{46} = 10.9955743696636$$
$$x_{47} = 20.4203521497111$$
$$x_{48} = -61.2610569641117$$
$$x_{49} = -89.5353907467661$$
$$x_{50} = -32.9867231091652$$
$$x_{51} = -61.2610562242523$$
$$x_{52} = -76.9690198771149$$
$$x_{53} = 54.9778714849733$$
$$x_{54} = 51.8362788999928$$
$$x_{55} = 14.1371671048484$$
$$x_{56} = 76.9690207492347$$
$$x_{57} = 23.5619449395428$$
$$x_{58} = -7.85398044816108$$
$$x_{59} = 92.6769830795146$$
$$x_{60} = 89.5353908552844$$
$$x_{61} = 76.9690200400775$$
$$x_{62} = 17.2787595624179$$
$$x_{63} = -32.9867227513827$$
$$x_{64} = 54.9778711883962$$
$$x_{65} = -70.685834448838$$
$$x_{66} = -92.6769831823972$$
$$x_{67} = -70.6858346386357$$
$$x_{68} = -4.7123889912442$$
$$x_{69} = -14.1371668392726$$
$$x_{70} = -51.8362786897497$$
$$x_{71} = -98.9601684414698$$
$$x_{72} = 23.5619451230057$$
$$x_{73} = -83.2522055415057$$
$$x_{74} = -42.4115006098842$$
$$x_{75} = -95.8185758681287$$
$$x_{76} = -73.8274272800405$$
$$x_{77} = 32.9867226137576$$
$$x_{78} = 98.9601685932308$$
$$x_{79} = -23.5619450090417$$
$$x_{80} = -26.7035375427973$$
$$x_{81} = 95.8185760590309$$
$$x_{82} = -92.6769830239371$$
$$x_{83} = 36.1283156002139$$
$$x_{84} = 58.1194644379895$$
$$x_{85} = -54.9778716831146$$
$$x_{86} = 48.6946859238715$$
$$x_{87} = -1.57079642969308$$
$$x_{88} = 1.5707965454425$$
$$x_{89} = -80.1106125795659$$
$$x_{90} = 42.4115007291722$$
$$x_{91} = 26.7035373461441$$
$$x_{92} = 61.2610569989704$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -98.96016883042$$
$$x_{2} = -7.85398149857354$$
$$x_{3} = 83.2522055730903$$
$$x_{4} = -17.2787590276524$$
$$x_{5} = -64.4026491876462$$
$$x_{6} = -86.393797765473$$
$$x_{7} = -10.9955741902138$$
$$x_{8} = -39.2699083866483$$
$$x_{9} = 64.4026493086922$$
$$x_{10} = -29.8451300963672$$
$$x_{11} = -98.960168684456$$
$$x_{12} = -48.6946860920117$$
$$x_{13} = 98.9601683381274$$
$$x_{14} = 76.9690197631883$$
$$x_{15} = -45.5530935883361$$
$$x_{16} = 67.5442422779275$$
$$x_{17} = 39.2699084246933$$
$$x_{18} = 80.1106126771746$$
$$x_{19} = 70.6858345016621$$
$$x_{20} = 61.2610566752601$$
$$x_{21} = 32.986722928111$$
$$x_{22} = -48.6946858738636$$
$$x_{23} = 86.393797888273$$
$$x_{24} = -10.9955745350309$$
$$x_{25} = 73.8274274795554$$
$$x_{26} = -67.5442421675773$$
$$x_{27} = -17.2787598091171$$
$$x_{28} = -76.9690202568697$$
$$x_{29} = 45.553093700501$$
$$x_{30} = 17.2787598502655$$
$$x_{31} = 10.9955740392793$$
$$x_{32} = -4.71238872430683$$
$$x_{33} = 4.71238876848081$$
$$x_{34} = -39.2699081528781$$
$$x_{35} = 7.85398174058521$$
$$x_{36} = 83.2522052340866$$
$$x_{37} = -54.9778713137198$$
$$x_{38} = -58.1194639993376$$
$$x_{39} = -26.7035372990183$$
$$x_{40} = 29.845130320338$$
$$x_{41} = -20.4203520321877$$
$$x_{42} = -36.1283154192437$$
$$x_{43} = 80.1106131434937$$
$$x_{44} = 541.924732890135$$
$$x_{45} = 39.2699081179815$$
$$x_{46} = 10.9955743696636$$
$$x_{47} = 20.4203521497111$$
$$x_{48} = -61.2610569641117$$
$$x_{49} = -89.5353907467661$$
$$x_{50} = -32.9867231091652$$
$$x_{51} = -61.2610562242523$$
$$x_{52} = -76.9690198771149$$
$$x_{53} = 54.9778714849733$$
$$x_{54} = 51.8362788999928$$
$$x_{55} = 14.1371671048484$$
$$x_{56} = 76.9690207492347$$
$$x_{57} = 23.5619449395428$$
$$x_{58} = -7.85398044816108$$
$$x_{59} = 92.6769830795146$$
$$x_{60} = 89.5353908552844$$
$$x_{61} = 76.9690200400775$$
$$x_{62} = 17.2787595624179$$
$$x_{63} = -32.9867227513827$$
$$x_{64} = 54.9778711883962$$
$$x_{65} = -70.685834448838$$
$$x_{66} = -92.6769831823972$$
$$x_{67} = -70.6858346386357$$
$$x_{68} = -4.7123889912442$$
$$x_{69} = -14.1371668392726$$
$$x_{70} = -51.8362786897497$$
$$x_{71} = -98.9601684414698$$
$$x_{72} = 23.5619451230057$$
$$x_{73} = -83.2522055415057$$
$$x_{74} = -42.4115006098842$$
$$x_{75} = -95.8185758681287$$
$$x_{76} = -73.8274272800405$$
$$x_{77} = 32.9867226137576$$
$$x_{78} = 98.9601685932308$$
$$x_{79} = -23.5619450090417$$
$$x_{80} = -26.7035375427973$$
$$x_{81} = 95.8185760590309$$
$$x_{82} = -92.6769830239371$$
$$x_{83} = 36.1283156002139$$
$$x_{84} = 58.1194644379895$$
$$x_{85} = -54.9778716831146$$
$$x_{86} = 48.6946859238715$$
$$x_{87} = -1.57079642969308$$
$$x_{88} = 1.5707965454425$$
$$x_{89} = -80.1106125795659$$
$$x_{90} = 42.4115007291722$$
$$x_{91} = 26.7035373461441$$
$$x_{92} = 61.2610569989704$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1/4)
-pi (----, 0) 2
pi (--, 0) 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}\right) = \left\langle 0, \frac{1}{4}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, \frac{1}{4}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}\right) = \left\langle 0, \frac{1}{4}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, \frac{1}{4}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}\right) = \left\langle 0, \frac{1}{4}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, \frac{1}{4}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}\right) = \left\langle 0, \frac{1}{4}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, \frac{1}{4}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/4 - sin(x)^2/2/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4} = - \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$$
- Sí
$$- \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4} = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{4}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$- \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4} = - \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$$
- Sí
$$- \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4} = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{4}$$
- No
es decir, función
es
par